étude d'une Suite, avec le nombre d'or.
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DDol61160 dernière édition par mtschoon
Bonjour je suis bloqué, je ne comprend pas l'exercice
(énoncé rectifié avec formules écrites en Latex)
On définit la suite (UnU_nUn) par U0=U_0=U0=1 et pour tout entier naturel n :
Un+1=1+UnU_{n+1} = \sqrt{1+U_n}Un+1=1+Un
Θ\ThetaΘ est le nombre d'or1- Montrer que pour tout naturel n on a : 0≤Θ−Un+1≤12(Θ−Un)0 \le \Theta - U_{n+1} \le \frac{1}{2}(\Theta-U_n)0≤Θ−Un+1≤21(Θ−Un)
On pourra dans cette question utiliser l'égalité Θ2=Θ+1\Theta ^2=\Theta+1Θ2=Θ+1 et une quantité conjuguée2- En déduire par récurrence que pour tout entier n on a: 0≤Θ−Un≤(12)n0 \le \Theta - U_n \le (\frac{1}{2})^n0≤Θ−Un≤(21)n
3- Conclure pour la limite de la suite (Un(U_n(Un)
merci d'avance
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Bonsoir Dol61160,
Question 1
Θ−Un+1\Theta-U_{n+1}Θ−Un+1 = (Θ−Un+1)(Θ+Un+1)Θ+Un+1\dfrac{(\Theta-U_{n+1})(\Theta+U_{n+1})}{\Theta+U_{n+1}}Θ+Un+1(Θ−Un+1)(Θ+Un+1)
Θ−Un+1\Theta-U_{n+1}Θ−Un+1 ≤ 12(Θ2−Un+12)\dfrac{1}{2}(\Theta^2-U_{n+1}^2)21(Θ2−Un+12)
Or Un+12=1+UnU_{n+1}^2 = 1 + U_nUn+12=1+Un
puis tu utilises la relation avec Θ2\Theta^2Θ2
et tu en déduis la relation indiquée.Je te laisse poursuivre pour la récurrence.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Neomi et Dol61160,
Je reste perplexe sur cet énoncé...
La formule de départ n'est évidemment pas bien écrite .
Dol61160 aurait dû mettre des parenthèses ou écrire en Latex Un+1=1+UnU{n+1}=\sqrt{1+U_n}Un+1=1+UnQuelles sont les informations sur Θ\ThetaΘ ?
Bien sûr, il s'agit du nombre d'or mais comment est-il défini dans l'énoncé ?Est-il indiqué Θ=1+52\Theta=\frac{1+\sqrt 5}{2}Θ=21+5 (solution positive de l'équation x2=1+xx^2=1+xx2=1+x) ou solution de x=1+xx=\sqrt{1+x}x=1+x ou autre chose ?
La formule de la question 2 à prouver par récurrence me parait fausse...
J'aurais écrit :
0≤Θ−Un≤(12)n0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n0≤Θ−Un≤(21)nEspérons que Dol61160 donnera des indications précises sur cet énoncé, s'il a besoin de plus d'aide.
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DDol61160 dernière édition par
Bonjour mtschoon,
tout ce que tu as corrigé est correct je suis nouvelle sur le site donc je ne connait pas les codes
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Rebonjour Dol61160,
D'accord . Ce n'est pas simple lorsqu'on n'a pas l'habitude.
Je viens de rectifier ton énoncé vu que mes propositions conviennent
Si besoin, je te donne quelques indications sur les autres démonstrations à faire.
Pour la question 1, il reste à démontrer que $\fbox{\Theta-U_{n+1} \ge 0}$
Une idée possible pour cela,
Θ2=1+Θ\Theta^2=1+\ThetaΘ2=1+Θ
Un+12=1+UnU_{n+1}^2=1+U_nUn+12=1+Un
En retranchant membre à membre
Θ2−Un+12=Θ−Un\Theta^2-U_{n+1}^2=\Theta-U_nΘ2−Un+12=Θ−Un
En factorisant
(Θ−Un+1)(Θ+Un+1)=(Θ−Un)(\Theta-U_{n+1})(\Theta+U_{n+1})=(\Theta-U_n)(Θ−Un+1)(Θ+Un+1)=(Θ−Un)Tu justifies que Θ\Theta Θ et Un+1U_{n+1}Un+1 sont positifs donc (Θ+Un+1)(\Theta+U_{n+1})(Θ+Un+1) est positif
Conséquence : (Θ−Un+1)(\Theta-U_{n+1})(Θ−Un+1) et (Θ−Un)(\Theta-U_n)(Θ−Un) sont de même signeEn étendant le procédé, tu peux déduire
(Θ−Un+1)(\Theta-U_{n+1})(Θ−Un+1) a même signe que (Θ−Un)(\Theta-U_n)(Θ−Un) qui a même signe que (Θ−Un−1)(\Theta-U_{n-1})(Θ−Un−1), qui a même signe que ...,etc,,...,, qui a même signe que (Θ−U0)(\Theta-U_0)(Θ−U0)
Tu calcules (Θ−U0)(\Theta-U_0)(Θ−U0), tu le trouves positif, donc (Θ−Un+1)(\Theta-U_{n+1})(Θ−Un+1) est positif.CQFD
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mtschoon dernière édition par
Pour la question 2
Il faut prouver par récurrence, que pour tout naturel n
$\fbox{0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n}$Initialisation pour n=0 c'est facile
Hérédité ( ou Transmission -j'ignore le langage utilisé dans ton cours-)
Tu supposes la formule vraie à un ordre n
0≤Θ−Un≤(12)n0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n0≤Θ−Un≤(21)n
Il faut démontrer la formule à l'ordre (n+1) c'est à dire
0≤Θ−Un+1≤(12)n+10 \le \Theta-U_{n+1} \le (\frac{1}{2})^{n+1}0≤Θ−Un+1≤(21)n+1L'inégalité 0≤Θ−Un+10 \le \Theta-U_{n+1}0≤Θ−Un+1 a déjà été prouvée à la question 1, donc il n'y a rien à faire.
Pour l'autre inégalité
Tu sais (question 1) que Θ−Un+1≤12(Θ−Un)\Theta-U_{n+1}\le \frac{1}{2}(\Theta -U_n)Θ−Un+1≤21(Θ−Un)
Avec l'hypothèse de la récurrence Θ−Un≤(12)n\Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^nΘ−Un≤(21)n
En substituant
Θ−Un+1≤12(12)n\Theta-U_{n+1}\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^nΘ−Un+1≤21(21)n
En calculant 12(12)n\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^n 21(21)n tu obtiens la réponse souhaitéePour la question 3
En utilisant la double inégalité qui vient d'être démontée à la question 2 et le Théorème des deux gendarmes, tu dois trouver la limite de la suite (Un)(U_n)(Un)Bon travail.