Points sur une hyperbole-équation du second degré

Bonjour,
C'est mon premier post sur ce forum
J'ai un devoir maison à rendre pour le 2 octobre, il y a deux exercices.
C'est surtout pour le deuxième exercice que je n'arrive pas à trouver : $=\frac{ 1}{x-4} +3$
On considère l'hyperbole H représentation de la fonction f et le point A(3;4).

Soit M le point de H d'abscisse x et N son symétrique par rapport à À.

On cherche à déterminer les positions possibles de M telles que N appartient à H.

Exprimer les coordonnées de N en fonction de x.
Démontrer que N appartient à H équivalent à dire que $x^2-6x+7 = 0$ .
Conclure.

Voilà
(Je précise qu'on a vu que les équations de second degré cette année)
En espérant que vous pourrez m'aider

Bonjour Lua_air,

Question 1, Utilise le fait que le point A est le milieu du segment [MN]
soit $x_A$ = $xM+xN2\dfrac{x_M+x_N}{2}$ et
$y_A$ = $yM+yN2\dfrac{y_M+y_N}{2}$
tu en déduis $x_N$ et $y_N$ en fonction de $x$ .

Question 2, si le point N appartient à H, alors $f(x_N)=y_N$

Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une vérification.

Bonjour Lua_air et Noemi,

Un petit plus si besoin,

Un schéma approximatif pour éclairer l'exercice,
(l'hyperbole est en rouge)

Notations :
$x_M=x$
$y_M=f(x)$
$x_A=3$
$y_A=4$
Ainsi, comme te l'a écrit Noemi :
$x+xN2=3\frac{x+x_N}{2}=3$ <=> $x_N+x=6$ <=> $x_N=....$
$f(x)+yN2=4\frac{f(x)+y_N}{2}=4$ <=> $y_N+f(x)=8$ <=> $y_N=8-f(x)$ <=> $y_N=....$

Si tu as besoin, tiens nous au courant de l'avancé de ton exercice.

Merci pour vos réponses
Je pense avoir compris ce que vous m'avez dit, mais à la question 2, je ne retrouve pas l'équation...

Pour la question 1, j'ai trouvé :
$x_N = 6-x$
Mais mes résultats pour $y_N$ ne cessent de changer (à chaque fois que je réessaye), donc je pense que le problème se situe là...
Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

Pour la question 1, tu dois trouver les expressions de $x_N$ et $y_N$

Ce que tu donnes pour $x_N$ est bon mais tu ne donnes pas $y_N$

$y_N=8-f(x)$
Il te reste à remplaces f(x) pas son expression:

$yN=8−(1x−4+3)y_N=8-(\frac{1}{x-4}+3)$
Tu peux simplifier un peu en remplaçant 8-3 par 5, d'où

$\fbox{y_N=5-\frac{1}{x-4}}$

Pour la question 2, Noemi t'a donné(e) la méthode :
$\fbox{f(x_N)=y_N}$

Tu obtiendras ainsi une égalité qui, après transformations, te donnera :
$x^2-6x+7=0$

Merci pour la réactivité

Alors pour la 2, j'ai trouvé :

$9−5x2−x\dfrac{9-5x}{2-x}$

Est-ce que jusque là mon résultat est bon

Comme Noemi te l'a dit et que j'ai répété, tu dois écrire l'égalité $f(x_N)=y_N$

Ce que tu donnes n'est pas une égalité.

$f(xN)=1xN−4+3f(x_N)=\frac{1}{x_N-4}+3$ et tu remplaces $x_N$ par $(6 - x)$
$yN=5−1x−4y_N=5-\frac{1}{x-4}$

Ensuite, tu écris l'égalité.

En marquant l'équation, je trouve :

$\dfrac{9-5x}{2-x}$

$f(x_N)=y_N$ équivaut à :

$16−x−4+3=5−1x−4\dfrac{1}{6-x-4}+3=5-\dfrac{1}{x-4}$

Tu simplifies, tu transformes en des égalités équivalentes.

Merci beaucoup pour votre aide, je suis finalement parvenue à l'équation demandée
(je n'avais en fait pas compris dans ce sens-là)

Encore une fois merci, je ne sais pas ce que j'aurai fait sans vous

De rien !
Nous sommes contentes de t'avoir aidé mais tu as aussi bien travaillé !
J'espère que tu as répondu à la question 3) qui consiste à résoudre l'équation trouvée à la question 2) (équation du second degré).

Pas de soucis pour la 3, je l'avais résolu en avance et j'avais trouvé :

x1 = 3 - racine de 2
x2 = 3 + racine de 2

(j'ai aucune idée de comment le taper donc je l'ai fait en l'écrivant)

Et du coup ce sont les deux positions possibles de M telles que N appartient à H

Encore une fois merci

C'est tout à fait ça.
( Le graphique que j'ai joint correspond approximativement à la valeur $x_2$ que tu indiques )

Donc tout est bon.

@mtschoon Alléluia
Merci

Bonne continuation, Lua_air.
A+