Fonction -Trouver le plus grand périmètre d'un triangle rectangle

Bonjour j ai un problème ouvert à résoudre et je bloque au début..

Le problème est le suivant :
Parmi tous les triangles ABC rectangle en A tels que bc = 8 cm, y en a t-il qui a un périmètre plus grand que tous les autres ?

Mon travail est le suivant :

Utilisation de pythagore : AC= x. BC = 8. AB=y.
. 8²= x² + y²
. 64 = x² + y²

Et nous savons que P = 8 + x + y

Je sais qu'à la fin je dois obtenir y = √(64-x²) mais je n'arrive pas à résoudre le système d'équations..

Bonjour Léane ,

Piste pour démarrer,

$8^2=x^2+y^2$ <=> $y^2=8^2-x^2$ <=> $y=82−x2y=\sqrt{8^2-x^2}$

Au final : $y=64−x2y=\sqrt{64-x^2}$

P peut ainsi s'écrire en fonction de x en remplaçant y par l'expression trouvée.
$=f(x)=8+x+\sqrt{64-x^2}$

L'énoncé te demande donc de trouver x pour que f(x) soit maximale (pour $\lt x \lt 8$ )

Tu dois donc étudier les variations de f sur ]0,8[ (dérivée et signe de la dérivée, tableau de variation)

@mtschoon merci beaucoup pour ta réponse, j'ai bien tout compris !!

En revanche j'ai juste une petite question :
Pour déterminer le signe de f(x) et ensuite ses variations je dois faire delta.

Et donc :
a = \sqrt{64-x^2}
b = x
c = 8

C'est bien ça ?

Bonjour Léane,

Suis les conseils de mtschoon,

Commence par calculer la dérivée
f'(x) = 1 - .....
puis tu étudies le signe de la dérivée
...

Rebonjour Léane et bonjour Noemi,

Je ne sais pas avec quoi tu confonds Leane ...polynôme du second degré ?
Ces a , b c n'ont guère de sens et $Δ\Delta$ non plus.

Tu parles de " signe de f(x) et ensuite ses variations"
Le signe de f(x) n'a aucun intérêt.

Rappel pour étudier les variations d'une fonction f
on calcule la dérivée f'
on cherche le signe de f'(x)
on déduit (en faisant le tableau de variation) que
si f'(x) est positive, la fonction f est croissante
si f'(x) est négative, la fonction f est décroissante

Tu pourras ainsi trouver la valeur maximale (qui annulera f'(x))

Remarque :
Si tu as oublié les formules usuelles relatives au calcul de dérivées, tu peux regarder ici
https://www.mathforu.com/premiere-s/derivees/

Tu peux nous donner l'expression que tu as trouvée pour la dérivée si tu a besoin d'une vérification.

@mtschoon .

Voici la formule de dérivée que j'ai trouvé :

f'(x) = 1 + (-2x)÷2√(64-x²)

Oui effectivement je m'étais égarée dans mes dérivées...
J'ai finalement trouvé la bonne réponse je crois mais je ne sais pas comment continuer mes calculs...

La dérivée que tu donnes est bonne.

Tu peux faire une simplification par 2

Ensuite tu réduis au même dénominateur $64−x2\sqrt{64-x^2}$

Le dénominateur étant strictement positif sur l'intervalle ]0,8[, la dérivée sera du signe du numérateur.

@mtschoon Pourquoi avez-vous exclu 0 sur l'intervalle ?
Je suis d'accord pour rejeter x=8 car il s'agit d'une valeur interdite pour f(x) mais je ne comprends pas pour x=0 puisque lorsqu'on calcule f(0), cela donne 1.

Non, pour x=0, $f(0)=8+64=8+8=16f(0)=8+\sqrt{64}=8+8=16$

Pour x=0 , on est dans le cas limite où le triangle est aplati
(précisément, le triangle se ramène au segment [BC] compté 2 fois : "triangle CBC")
x=AC=0 donc les points A et C sont confondus , ce qui correspond au périmètre égal à BC+CB=8+8=16

Ce cas n'est pas trop ce que l'énoncé cherche, mais rien ne t'empêche de le signaler.

Pour x=8, f(8) existe aussi . C'est f'(8) qui n'existe pas.
$f (8) = 16$
On est dans le second cas limite de triangle aplati ( A et B confondus) qui ramène encore au segment [BC] compté 2 fois .

Donc, même remarque que pour x=0.

En bref, pour avoir un "véritable triangle rectangle " avec 3 sommets distincts, tu exclus x=0 et x=8 et tu travailles sur ]0,8[
Si l'énoncé accepte les deux cas limites , tu travailles sur [0,8]

Merci pour tes réponses !!

De rien et bon travail !

A+