Injectivité d'une application

Bonsoir tout le monde!
Qui peut m'aider à résoudre cette question:
Comment montrer qu'une fonction f est injective ?
On a :
f définie et continue sur [0,1] à valeur dans [0,1]
et quelque soit x appartient à [0,1] f(f(x))=x
et f (0)= 0

Bonsoir Sara,

Il faut montrer que $∀x,x′∈[0;1]\forall x, x' \in [0;1]$ ; $f (x) = f (x^{'})$ $\implies$ $x = x^{'}$

@noemi Oui , je sais bien cela , mais je ne sais pas comment l'appliquer !

@sara

Tu utilises ff(x) = x
$f f (0)$ = $f (0)$ = 0
si $f (x) = f (x^{'})$ , $f f (x) = f f (x^{'})$ $x=x′\implies x = x'$

@noemi d'acc maintenant j'ai compris!
Merci beaucoup pour votre effort!

S'il vous plaît! Si maintenant je veux montrer que f est strictement croissante sur [0,1] on doit montrer de la même manière (on a f est injective donc f est strictement monotone sur [0,1] )

Bonjour Sara,

Utilise le fait que $f (0) = 0$

@mtschoon donc il est suffisant de dire que :
f est injective donc f est strictement monotone sur [0,1]
Et on a aussi f(0)=0 et f:[0,1] ---> [0,1]
Donc quelque soit x appartient à [0,1], f(x)>0
Est ce que c'est correct?

Fais attention au crochet:

$∀x∈[0,1],f(x)≥0\forall x \in[0,1], f(x)\ge 0$
$∀x∈]0,1],f(x)>0\forall x \in]0,1], f(x)\gt 0$

Tu peux détailler le raisonnement.

Tu sais déjà (grâce à la continuité et l'injectivité) que f est strictement monotone.
Elle ne peut être que strictement croissante ou bien strictement décroissante.
Tu justifies qu'elle ne peut pas être strictement décroissante (vu que f(0)=0, pour tout x de ]0,1] f(x) serait strictement négatif, ce qui est faux)

Tu tires la conclusion.

@mtschoon on peut utiliser le raisonnement par l'absurde (supposer que f est décroissante )
Ou bien tout simplement :
1≥ f(x) ≥0
=> f(1) ≥ x ≥ f(0) (on a f(f(x))=x)
Donc: f(1)>f(0)
f est strictement croissante sur [0,1]

@mtschoon
Vous pouvez aussi remarquer que quelque soit a appartient à [0,1] : f(a)=a
Voilà la démonstration :
Supposons que f(x) n'est pas égal à x (avec f(f(x))=x )
Mettons: g(x)= f(x)-x
g est continue sur [0,1]
Et on a: g(f(x))=f(f (x)) - f(x)=x-f(x)
Et aussi : g(x)=f(x)-x
Donc: g(x)×g (f(x))=-(f(x)-x)^2 <0
Selon la T.V.I. , existe a appartient à ]y,z[ (mettons: y=inf {f(x),x} et z=sup {f(x),x})
Tel que :g(a)=0
Donc quelque soit a appartient à [0,1] : f(a)=a

*désolé pour l'écriture des formules, je ne sais pas comment la faire, j'espère que c'est compris!

Je reviens sur la démonstration relative à f strictement croissante.
Ta précédente démonstration m'a paru fort intéressante par sa simplicité, mais, à y regarder à deux fois, elle ne va pas...

$\le f(x) \le 1$
Ensuite tu passes à $\le f(f(x) \le f(1)$
Tu as ainsi pris l'image par f de chaque membre de la double inégalité sans changer le sens des inégalités.
Cela sous-entend donc que f est croissante alors que c'est ce que tu veux démontrer....donc la démarche ne va pas...

Tu peux rester à la démonstration par l'absurde précédente.

Ta dernière réponse correspond-elle à une autre question de ton DM ?

@mtschoon ouii vous êtes raison, je n'ai pas fait attention ici, merci pour votre remarque!
Et oui c'est la dernière question de mon devoir, merci beaucoup pour votre aide

Je regarde la dernière question de ton DM pour prouver que quelque soit a appartient à [0,1] : f(a)=a

Je n'ai pas regardé ta démonstration de très près mais elle ne me convainc pas car, avec le TVI, tu arrives à "il existe a tel que g(a)=0 c'est à dire f(a)=a
Tu n'as pas prouvé que pour tout a f(a)=a
(Il ne faut pas confondre le quantificateur existentiel avec le quantificateur universel)

Une piste : raisonnement par l'absurde.

Tu supposes qu'il existe une valeur a de [0,1] telle que $\ne a$

Deux possibilités à voir

première possibilité : $\fbox{f(a) \lt a}$
Vu que tu as démontré à la question précédente que f est strictement croissante, tu peux prendre l'image par f de chaque membre de cette inégalité sans changer de sens de l'inégalité
$\lt f(a)$ c'est à dire $\fbox{a\lt f(a)} $
Il y a une contradiction donc Impossibilité

seconde possibilité : $\fbox{f(a) \gt a}$
Tu appliques la même démarche et tu arrives encore à une contradiction d'où Impossibilité

Conclusion
$∀a∈[0,1],f(a)=a\forall a\in [0,1], f(a)=a$

CQFD

@mtschoon c'est compris! Merci beaucoup, Cela m'a beaucoup aidé !
Surtout quand vous signalez les erreurs que j'ai faites ! C'est comme si j'étais dans la classe !

De rien Sara !
Très contente que notre aide te soit utile.
Bonne semaine .