4. Alignement de points, nombre complexes

Alignement de points, nombre complexes

  • S

    Bonjour,
    je suis bloqué sur un point de mon exercice, j'aimerai si possible recevoir des indications ou une correction si possible.
    Voici l’énoncé
    Soient a et b deux nombres complexes non nuls, A et B leurs images respectives.
    Démontrer que (a+b)^2/ab est un nombre réel si et seulement si les points O, A, et B sont alignés.
    j'ai voulu utiliser les arguments pour répondre à la question.
    D'après le cours un complexe z est réel si son argument est 0 modulo pi.
    j'ai supposé que (a+b)^2/ab est un nombre réel donc que arg( (a+b)^2/ab )= 0
    or arg( (a+b)^2/ab ) = 2arg(a+b) - arg (ab) donc 2arg(a+b)=arg(ab)
    c'est là que je bloque et n'arrive pas à avancer.
    Pour la réciproque en supposant que les points O, A et B sont alignés donc que arg(b/a) =0 modulo pi , je n'arrive pas à montrer que arg( (a+b)^2/ab ) =0 modulo pi.
    Merci d'avance pour l'aide.

  • mtschoon

    Bonjour,

    Ta méthode ne me parait pas très simple...

    Quelques idées éventuelles à creuser

    Tout d'abord, tu peux prouver facilement (avec les arguments) les équivalences
    A , B , 0 alignés <=> ab\frac{a}{b} ba​ réel
    A , B , 0 alignés <=> ba\frac{b}{a} ab​ réel
    C'es équivalences pourront être utilisées pour la partie directe et la partie réciproque.

    Soit A , B O alignés
    (a+b)2ab=a2+b2+2abab\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}ab(a+b)2​=aba2+b2+2ab​
    En décomposant
    (a+b)2ab=a2ab+b2ab+2abab\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}+\frac{2ab}{ab}ab(a+b)2​=aba2​+abb2​+ab2ab​
    En simplifiant
    (a+b)2ab=ab+ba+2\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2 ab(a+b)2​=ba​+ab​+2

    ab∈R\frac{a}{b} \in Rba​∈R et ba∈R\frac{b}{a} \in Rab​∈R et 2∈R2\in R2∈R donc (a+b)2ab∈R\frac{(a+b)^2 }{ab}\in Rab(a+b)2​∈R
    CQFD

    Piste pour la réciproque
    Soit (a+b)2ab∈R\frac{(a+b)^2 }{ab}\in Rab(a+b)2​∈R
    Avec la décomposition précédente
    ab+ba+2∈R\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2 \in Rba​+ab​+2∈R
    2 étant réel , tu déduis ab+ba∈R\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \in Rba​+ab​∈R
    Tu peux raisonner par l'absurde pour terminer en prouvant que si ab\frac{a}{b}ba​ n'est pas réel, son inverse ba\frac{b}{a}ab​ n'est pas réel donc que leur somme ne peut pas être réelle
    conclusion :
    nécessairement ab\frac{a}{b}ba​ est réel donc A , B, O sont alignés.
    CQFD

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