Recherche de fonctions inverses.



  • Bonsoir tout le monde!
    J'ai une question concernant la fonction inverse donc, j'ai répondu au premières questions :
    ~ La fonction est f(x)=arctan((x21)/(2x))f{(x)}=arctan{({(x^2-1)}/{(2x)})}

    • montrer que f est paire ( c'est fait )
      *Calculer la limite de f(x) à 0+ et +infini (jai trouvé -pi/2 pour la 1ère et pi/2 pour la 2ème)
    • prouvé que f est bijection de ]0,+oo[ à J (c'est aussi fait; j'ai trouvé que J=]-pi/2,pi/2[ )
      Et donc voilà ce que je cherche : *trouver la fonction inverse f1f^-1 pour tout x appartient à J .
      Merci d'avance!


  • Mathématicienne , bonjour,

    Oui pour tes réponses.

    Avec les intervalles adaptés, la fonction arctan est la réciproque de la fonction tan
    la fonction tan est la réciproque de la fonction arctan.

    Piste de calcul pour x=f1(y)x=f^{-1}(y)

    y]π2,π2[y \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ et x]0,+[x\in ]0,+\infty[

    y=arctan(x212x)y=arctan(\frac{x^2-1}{2x})

    x212x=tany\frac{x^2-1}{2x}=tany

    x21=2xtanyx^2-1=2xtany

    x22xtany1=0x^2-2xtany-1=0

    Tu as une équation du second degré d'inconnue x à résoudre (et vu l'intervalle , tu conserveras la solution positive)

    Lorsque tu auras terminé le calcul, pour la conclusion, tu pourras échanger le notations x et y pour redonner à x son rôle de variable indépendante.
    Si tu préfères, tu peux changer les notations dès le début du calcul.



  • @mtschoon solution trouvée, merci beaucoup!
    Une autre question s'il vous plaît!
    La fonction inverse de f(x)=x(2x)f{(x)}=\dfrac{x}{(2-\sqrt{x})}
    Tel que f (x)------> f (x)^-1
    [0,4 [ -------> [0,+oo[



  • Bonsoir @mathématicienne,

    Comme xx ≥ 0
    Fait un changement de variable uu = x\sqrt x puis tu résous l'équation du second degré.



  • @noemi oh d'accord c'est clair, est-ce-que toujours on doit rendre l'équation sous forme d'équation du deuxième degré pour trouver la fonction inverse?



  • @mathématicienne,

    Non, tu transformes pour trouver xx en fonction yy et tu analyses l'équation.



  • @noemi d'accord c'est compris! Merci beaucoup!



  • @noemi a dit dans La fonction inverse de arctan((x^2-1)/(2x)) :

    @mathématicienne,

    Non, tu transformes pour trouver xx en fonction yy et tu analyses l'équation.

    J'ai trouvé deux solutions
    U1=(-x-sqrt(x^2+4))/2 < 0 (n'est pas une solution )
    U2=(-x+sqrt(x^2+4))/2
    Mais je ne sais pas comment montrer que U2 appartient à [0,2[



  • @mathématicienne

    Vérifie les calculs.
    si tu poses u=xu = \sqrt x ensuite il faut élever au carré pour écrire xx en fonction de yy.



  • @Mathématicienne Bonsoir (et Bonsoir Noemi)

    Je regarde l'énoncé de ta seconde question et ne déchiffre pas clairement.
    Que veux-tu dire par : [0,4 [ -------> [0,+oo[ ?
    Merci pour l'indication.



  • Bonsoir @mtschoon !
    je veux dire que
    f(x)f(x) est définie sur [0,4 [
    Et f1(x)f^{-1}(x) est définie sur [0,+oo [



  • @Mathématicienne

    Merci pour ton indication

    Une remarque : n'écris pas f(x)1f(x)^{-1} mais f1(x)f^{-1}(x)

    Si tu es sûre des deux intervalles que tu indiques, l'expression que tu donnes pour f(x) est fausse.
    Tu donnes f(x)=x1xf(x)=\frac{x}{1-\sqrt x}
    Cette fonction est définie sur R-{1}
    Etudie la de près.
    Elle ne définie absolument pas une bijective de [0,4[ vers [0,+[[0,+\infty[
    En 1 ( valeur interdite) il y a deux limites (à droite et à gauche )valant ++\infty et -\infty et pour x >1 elle prend des valeurs négatives.
    Cela explique que tu n'aies pas pu aboutir (avec u compris entre 0 et 2, dans tes calculs précédents)

    Avec cette fonction, pour trouver une bijection et définir sa bijection réciproque , il aurait fallu prendre [0,1[ au lieu de [0,4[



  • Comme indiqué ci-dessus, si tu es sûre de [0,4[ vers [0,++\infty[,il faut changer de fonction f

    En prenant, par exemple, f(x)=x2x\fbox{ f(x)=\frac{x}{2-\sqrt x}}, on peut définir une bijection de [0,4[ vers [0,+\infty[
    Ainsi, tu peux vraiment trouver f1f^{-1} bijection réciproque de f, de [0,+\infty[ vers [0,4[

    Alors, regarde ton énoncé de près et refais les calculs car il faut que tu changes, ou bien un intervalle, ou bien la fonction

    Tiens nous au courant si besoin.



  • Pour le cas (?) où il s'agirait de ma seconde proposition (ce que j'ignore),
    f(x)=x2x\fbox{f(x)=\frac{x}{2-\sqrt x}} de [0,4[ vers [0,+\infty[, je te donne la réponse pour f1f^{-1} pour pouvoir vérifier les calculs

    En résolvant y=x2xy=\frac{x}{2-\sqrt x} d'inconnue x après produit en croix, changement d'inconnue, choix entre les deux solutions et élévation au cas, tu dois trouver
    x=(yy2+8y)24x=\frac{(y-\sqrt{y^2+8y})^2}{4}

    Pour la conclusion, en redonnant à x sa fonction de variable indépendante, tu dois obtenir
    f1f^{-1} bijection de [0,+\infty[ vers [0,4[ défine par :
    f1(x)=(xx2+8x)24\displaystyle \fbox{f^{-1}(x)=\frac{(x-\sqrt{x^2+8x})^2}{4}}

    Si tu représentes ces deux bijections f et f1f^{-1}(sur leurs intervalles respectifs) dans un repère orthonormé, tu constateras, ce qui est une propriété usuelle, que les deux représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x

    0_1540020239999_réciproques.jpg

    (f est en bleu, f1f^{-1} est en rouge, y=x est en vert)



  • @mtschoon oui, c'est une grande faute!!! Excusez-moi 🙏 j'ai corrigé ça. (c'est ce qui se passe lorsque vous étudiez à 23 h)
    Excusez-moi encore .
    Et ouii vous avez raison
    La fonction correcte est f(x)=x(2x)f{(x)}=\dfrac{x}{(2-\sqrt{x})}
    Après les calculs j'ai trouvé le même résultat de f1(x)f^{-1}{(x)}



  • Pas grave, Mathématicienne ☺ ,
    Je n'ai pas travaillé pour rien vu que j'ai pris la "bonne" fonction.
    Tu as très bien travaillé toi aussi vu que tu as trouvé f1(x)f^{-1}(x)


 

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