Limite trigonométrique

Bonsoir !
J'ai besoin d'aide pour résoudre cette limite, je ne sais même d'où commencer !

$n∈N∗n\in N^*$

$lim⁡x→π2(1−sinx)(1−sin2x)...(1−sinnx)cos2nx\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{(1-sinx)(1-sin^2x)...(1-sin^nx)}{cos^{2n}x}$

(image re-écrite en Latex)

Bonsoir Mathématicienne,

As tu essayé un changement de variable $\dfrac{\pi}{2} + y$
puis tu utilises les relations trigonométriques et les limites à connaitre avec les fonctions trigonométriques.

Bonjour Mathématicienne et Noemi,

@Mathématicienne , je te donne une piste pour démarrer.

Soit f(x) l'expression dont on cherche la limite.
Tu peux commencer par décomposer le dénominateur

$f(x)=(1−sinxcos2x)×(1−sin2xcos2x)×...(1−sinpxcos2x)×...×(1−sinnxcos2x)f(x)=(\frac{1-sinx}{cos^2x})\times (\frac{1-sin^2x}{cos^2x})\times...(\frac{1-sin^px}{cos^2x})\times...\times(\frac{1-sin^nx}{cos^2x})$

Tu as ainsi n facteurs de même type, qui se traitent de la même façon.

Soit $g_p(x$ ) un facteur quelconque(p compris entre 1 et n) :

$\fbox{g_p(x)=(\frac{1-sin^px}{cos^2x})}$

Tu détermines la limite de $g_p(x)$ en suivant les suggestions que t'a donnée Noemi (changement de variable et limites usuelles)
Ensuite, tu n'auras plus qu'à multiplier les limites des facteurs entre elles

@mtschoon maintenant j'ai compris, je vais appliquer cette méthode !

Bons calculs !

Ce sera très bien si tu y arrives sans aide, vu que tu as compris le principe, mais ce n'est pas simple.

Bien sûr, si vraiment tu es bloquée, demande.

(Sauf erreur, pour la limite de $g_p(x)$ tu dois trouver $12p\frac{1}{2}p$ )

@mtschoon
Yep !
J'ai trouvé la solution, c'est ${n!}/{2^n}$

C'est tout bon.
Bravo !

@mtschoon merci beaucoup pour votre aide, j'ai remarqué que mon niveau se développe de jour en jour grâce à vous, je ne sais pas comment je peux vous remercier!

De rien Mathématicienne !
Me remercier ? c'est tout simple;
Il te suffit de continuer à progresser.

@mtschoon bien sur je vais continuer, Je fais tous mes efforts !

C'est très bien. A+