Partie entière et dérivation



  • Bonjourà tous les membres!
    J'ai une question concernant la partie entière :
    On a
    f(x)=(x2/a)E(b/x){f(x)=({{x^2}/{a})}{E(b/x)}}
    f(0)=0{f(0)=0}

    • Je dois prouver que (quelque soit x appartient à IR) On a :
      |f(x)/x)-(b/a)|<|x/a| (inférieur ou égal à...)
    • en déduire que ff est dérivable en 0 (j'ai la montré grâce à la question précédente )
      Merci d'avance!

  • Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne,

    Aucune indication sur a et b dans l'énoncé ?



  • @noemi x, a et b ne sont pas égal à 0, c'est tout


  • Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne et Noemi,

    @Mathématicienne

    Il faut mettre x/a en facteur pour débloquer le problème.

    f(x)xba=xaE(bx)ba=xaE(bx)xa(bx)\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}E(\frac{b}{x})-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}E(\frac{b}{x})-\frac{x}{a}(\frac{b}{x})

    Au final

    f(x)xba=xa[E(bx)bx]\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}[E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}]

    La suite (valeurs absolues, majoration) me semble simple.

    Mathématicienne, reposte si besoin.



  • Bonsoir @mtschoon et @Noemi !
    Merci pour votre explication !
    Est ce que ce résultat nous permet de dire que |f(x)/x)-(b/a)|<|x/a|
    j'ai pas bien compris cela !
    (Je dois travailler plus sur la partie entière, c'est mon point faible) 😧


  • Modérateurs

    @Mathématicienne

    Je n'ai indiqué que le début de la démonstration dans mon précédent message, pour te laisser chercher la suite.

    Voici une suite, si tu as besoin.

    Tu sais que :

    f(x)xba=xa[E(bx)bx]\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}[E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}]

    donc, en prenant les valeurs absolues

    f(x)xba=xaE(bx)bx\fbox{|\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}|=|\frac{x}{a}||E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}|}

    Une propriété usuelle de la partie entière :
    XE(X)<1X-E(X) \lt 1

    En posant X=bxX=\frac{b}{x}

    bxE(bx)<1\frac{b}{x}-E(\frac{b}{x}) \lt 1

    donc

    E(bx)bx<1\fbox{|E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}| \lt 1}

    CONCLUSION

    f(x)xbaxa\fbox{|\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}|\le|\frac{x}{a}}


  • Modérateurs

    Si tu n'es pas à l'aise avec les parties entières,
    ce document peut, peut-être, t'intéresser.

    Dans ce document ,la partie entière de x est notée [x]

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_entière_et_partie_fractionnaire

    Bonne lecture !



  • Merciiii @mtschoon, maintenant ça devient simple, c'est exactement cette propriété qui me manque, je vais maintenant lire ce document avant de dormir!🙌


  • Modérateurs

    De rien, Mathématicienne !
    Le document te permettra, je pense, à connaître les propriétés qui te manquaient.



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