Partie entière et dérivation
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?Un Ancien Utilisateur dernière édition par Un Ancien Utilisateur
Bonjourà tous les membres!
J'ai une question concernant la partie entière :
On a
f(x)=(x2/a)E(b/x){f(x)=({{x^2}/{a})}{E(b/x)}}f(x)=(x2/a)E(b/x)
f(0)=0{f(0)=0}f(0)=0- Je dois prouver que (quelque soit x appartient à IR) On a :
|f(x)/x)-(b/a)|<|x/a| (inférieur ou égal à...) - en déduire que fff est dérivable en 0 (j'ai la montré grâce à la question précédente )
Merci d'avance!
- Je dois prouver que (quelque soit x appartient à IR) On a :
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Bonjour Mathématicienne,
Aucune indication sur a et b dans l'énoncé ?
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?Un Ancien Utilisateur dernière édition par Un Ancien Utilisateur
@noemi x, a et b ne sont pas égal à 0, c'est tout
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Mathématicienne et Noemi,
@Mathématicienne
Il faut mettre x/a en facteur pour débloquer le problème.
f(x)x−ba=xaE(bx)−ba=xaE(bx)−xa(bx)\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}E(\frac{b}{x})-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}E(\frac{b}{x})-\frac{x}{a}(\frac{b}{x})xf(x)−ab=axE(xb)−ab=axE(xb)−ax(xb)
Au final
f(x)x−ba=xa[E(bx)−bx]\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}[E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}] xf(x)−ab=ax[E(xb)−xb]
La suite (valeurs absolues, majoration) me semble simple.
Mathématicienne, reposte si besoin.
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?Un Ancien Utilisateur dernière édition par Un Ancien Utilisateur
Bonsoir @mtschoon et @Noemi !
Merci pour votre explication !
Est ce que ce résultat nous permet de dire que |f(x)/x)-(b/a)|<|x/a|
j'ai pas bien compris cela !
(Je dois travailler plus sur la partie entière, c'est mon point faible)
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Mathématicienne
Je n'ai indiqué que le début de la démonstration dans mon précédent message, pour te laisser chercher la suite.
Voici une suite, si tu as besoin.
Tu sais que :
f(x)x−ba=xa[E(bx)−bx]\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}=\frac{x}{a}[E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}] xf(x)−ab=ax[E(xb)−xb]
donc, en prenant les valeurs absolues
$\fbox{|\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}|=|\frac{x}{a}||E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}|}$
Une propriété usuelle de la partie entière :
X−E(X)<1X-E(X) \lt 1X−E(X)<1En posant X=bxX=\frac{b}{x}X=xb
bx−E(bx)<1\frac{b}{x}-E(\frac{b}{x}) \lt 1xb−E(xb)<1
donc
$\fbox{|E(\frac{b}{x})-\frac{b}{x}| \lt 1}$
CONCLUSION
$\fbox{|\frac{f(x)}{x}-\frac{b}{a}|\le|\frac{x}{a}}$
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mtschoon dernière édition par
Si tu n'es pas à l'aise avec les parties entières,
ce document peut, peut-être, t'intéresser.Dans ce document ,la partie entière de x est notée [x]
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_entière_et_partie_fractionnaire
Bonne lecture !
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?Un Ancien Utilisateur dernière édition par
Merciiii @mtschoon, maintenant ça devient simple, c'est exactement cette propriété qui me manque, je vais maintenant lire ce document avant de dormir!
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mtschoon dernière édition par
De rien, Mathématicienne !
Le document te permettra, je pense, à connaître les propriétés qui te manquaient.