Suite, convergence, limite

Bonjour, J'aurai besoin d'un peu d'aide. Je bloque sur deux questions (1 et 3) qui je pense, ne sont pas si compliquées que ça.

Voici l'énoncé:
Définition de cours: On dit qu'une suite ( $U_n$ ) converge vers L ssi quelque soit le réel $ϵ\epsilon$ , il existe un entier N tel que pour tout n $≥N\ge N$ , $L−ϵ≤Un≤L+ϵL-\epsilon \le U_n\le L+\epsilon$ .

Soit la fonction définie pour tout entier n par $Un=2nn+1U_n=\frac{2n}{n+1}$ .

question 1: montrer que $Un≤2U_n \le 2$ . J'hésite entre deux option: Si on trouve la limite de $U_n$ on pourra peut-être conclure (la limite trouvé étant 2). et faire une récurrence où on trouverait $Un+1≤43U_{n+1}\le \frac{4}{3}$ .

question 2: résoudre l'équation $U_n = 1.99$ et trouver le plus petit entier $N_0$ tel que pour tout $n≥N0n\ge N_0$ , $Un≥1.99U_n \ge1.99$
Je trouve cela pour $\ge 199$ .

question 3: a. $ϵ\epsilon$ étant un réel quelconque positif, déterminer en fonction de $ϵ\epsilon$ le plus petit entier N tel que pour tout $\ge N$ , on ait: $Un≥2−ϵU_n \ge2-\epsilon$
b. Conclure sur la limite de $U_n$ .
J'ai essayé de remplacer $U_n$ par sa formule mais cela ne m'avance pas.

Merci à celui ou celle qui prendra le temps de me répondre et de m'aider pour la question 1 et 3.

(Codes Latex re-écrits par la modération)

tirkoz , bonjour,

Idées non pertinentes...

Transforme l'expression de $U_n$ et ce sera simple.
Tu pourras utiliser cette expression pour la question 3

$Un=2nn+1=2n+2−2n+1=2(n+1)n+1−2n+1\displaystyle U_n=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2-2}{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+1}-\frac{2}{n+1}$

En simplifiant

$\fbox{U_n=2-\frac{2}{n+1}}$

Vu que $2n+1>0\frac{2}{n+1} \gt 0$ , nécessairement $Un≤2U_n \le 2$

Oui pour ta réponse.
Essaie de faire la 3) avec l'expression de $U_n$ que je t'ai indiquée.

Reposte si tu n'y arrives pas ou pour donner tes réponses.

@mtschoon Merci pour m'avoir répondu et aidé. D'après ce que tu m'as dit, il faut que je remplace $U_n$ ≥2−ϵ par 2 - $2n+1\dfrac{2}{n+1}$ ≥ 2−ϵ, ce qui se simplifie par $2n+1\dfrac{2}{n+1}$ $≤ϵ\leqϵ$ . (si je ne me trompe pas…). Ce que je n'ai pas compris dans la question, c'est quelle inconnue faut-il isoler. L'énoncé dit "déterminer en fonction de ϵ" donc je serais d'avis d'isoler cette inconnue, mais je ne vois pas en quoi ça répond à la question.

Il faut isoler n , pour obtenir n en fonction de $ϵ\epsilon$

Sauf erreur, tu dois trouver $n≥2−ϵϵn\ge \frac{2-\epsilon}{\epsilon}$

Tu peux ainsi vérifier que pour $ϵ=0.01\epsilon=0.01$ , tu retrouves la réponse à la question 2

En bref, la question 2 t'a fait faire le cas particulier de $ϵ=0.01\epsilon=0.01$ et la question 3 te fait faire le cas général, $ϵ\epsilon$ étant quelconque.

@mtschoon Merci Beaucoup

De rien ! A+