complexe (forme trigonométrique )

[saraSBH]

salut!
mettre sous forme trigonométrique sachant que $x\in R$
1+ cos x+cos 2x +i(sinx +sin 2x) avec $x\in [0,2\pi ]$
je me bloque aidez moi svp

Latex mis en forme

[Noemi]

Bonjour saraSBH,

Utilise l'écriture exponentielle des nombres complexes et les formules d'Euler.

[Black-Jack]

Bonjour,

Alternative.

Avec z = 1+ cos x+cos 2x +i(sinx +sin 2x) (sur [0 ; 2Pi]

Calculer : |Z|

|z|² = (1 + cos(x) + cos(2x))² + (sin(x) + sin(2x))²

... sauf erreur on arrive après simplification (pas très difficile) à : |z| = |1 + 2.cos(x)|

---

On cherche alors : (1 + cos(x) + cos(2x)/|1 + 2.cos(x)|

Et sauf erreur, on trouve : (1 + cos(x) + cos(2x)/|1 + 2.cos(x)| = +/- cos(x) (signe à déterminer suivant les valeurs de x ...)

On cherche alors : (sin(x) + sin(2x)/|1 + 2.cos(x)|

Et sauf erreur, on trouve : (sin(x) + sin(2x)/|1 + 2.cos(x)| = +/- sin(x) (signe à déterminer suivant les valeurs de x ...)

On a alors :

z = |1 + 2.cos(x)|*(+/- cos(x) +/- i.sin(x)) (tenir compte des études de signes ci-dessus, suivant les valeurs de x dans [0 ; 2Pi])

[mtschoon]

Bonjour à tous,

Une solution possible qui me semble assez simple,

Ce n'est pas indiqué dans l'énoncé, mais la forme trigonométrique s'applique à des nombres complexes non nuls, donc de modules non nuls)

Idée : Utiliser les formules de duplication (cours de 1S) pour transformer $f(x)=1+cosx+cos2x+i(sinx+sin2x)$

Pistes,
$cos2x=2co{s}^{2}x-1$ donc $1+cos2x=2co{s}^{2}x$
$sin2x=2sinxcosx$

$f(x)=cosx+2co{s}^{2}x+i(2sinxcosx+sinx)$
$f(x)=cosx(2cosx+1)+isinx(2cosx+1)$
$\boxed{f\left(x\right)=(2cosx+1)(cosx+isinx)}$

Reste à conclure en fonction du signe de $2cosx+1$

(Ce signe doit être étudié correctement, bien sûr sur $[0,2\pi ]$.

1er cas : $2cosx+1>0$
la formule $\boxed{f\left(x\right)=(2cosx+1)(cosx+isinx)}$ est la forme trigonométrique cherchée
(module=2cosx+1 et , argument= x)

2ème cas : $2cosx+1<0$ donc $-(2cosx+1)>0$
On peut écrire :
$f(x)=(-2cosx-1)(-cosx-isinx)$
$\fbox{f(x)=(-2cosx-1)[cos(x+\pi)+isin(x+\pi)]}$
Cette expression est la forme trigonométrique cherchée
(module = -2cosx-1 et argument = x+$\pi$.

saraSBH , tu as le choix !
Si tu envisages cette version, il te faut, pour chaque cas, trouver les intervalles de x satisfaisants.
Reposte si besoin.

[saraSBH]

@noemi merci beaucoup!

[saraSBH]

@black-jack merci beaucoup!

[saraSBH]

@mtschoon merci beaucoup!

[mtschoon]

De rien !
A+