Demonstration suites

Bonjour !
Je suis bloquée sur cette question
On considere une suite (un) définie par u0= 5 et un+1= 2/un +1
On considère une suite (vn) définie par vn = un-2/un+1

Quelle conjecture peut on émettre à propos de la nature de (vn) ?
Démontrer cette conjecture et donner les elements caractéristiques de la cette suite.

Merci d'avance

Bonsoir margot7227,

L'écriture des suites est -elle :
$un+1=2un+1u_{n +1} = \dfrac{2}{u_n+1}$ ? ou ....
et
$vn=un−2un+1v_n = u_n - \dfrac{2}{u_n+1}$ ? ou

$vn=un−2un+1v_n = \dfrac{u_n -2}{u_n+1}$ ? ou ....

L'écriture de un+1 est une fraction ayant pour numérateur 2 et comme dénominateur un. Ensuite, on ajoute 1 à cette fraction. Pour l'expression de vn, c'est votre deuxieme proposition.

Bonjour margot7227,

calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ ,
puis $v_0$ , $v_1$ , $v_2$ ,
puis tu indiques la conjecture.

2.Exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ puis de $u_n$ et ensuite de $v_n$
puis tu en déduis la nature de la suite $v_n$ .

Bonjour Noemi et margot7227,

@margot7227

As-tu fait les calculs des premiers termes pour pouvoir conjecturer la nature de la suite $v_n)$ ?

Je viens de les faire jusqu'à l'ordre 2

Sauf erreur, tu dois trouver

$v0=12v_0=\frac{1}{2}$
$v1=−14v_1=-\frac{1}{4}$
$v2=18v_2=\frac{1}{8}$

La conjecture sur la nature de la suite $v_n)$ est facile à trouver.
Bons calculs !

D'accord, je vais essayer ! Merci bcp à tous en tout cas !
Margot7227

De rien et reposte si tu n'y arrives pas.

Rebonjour !
@mtschoon, je ne trouve pas les mêmes valeurs que vous pour les termes de (vn). Pour v0 je trouve -1/4, donc tout le reste est décalé après...

Je regarde,

Si j'ai bien lu, $u_0=5$ et $vn=un−2un+1v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}$

Donc $v0=u0−2u0+1=5−25+1=36=12v_0=\frac{u_0-2}{u_0+1}=\frac{5-2}{5+1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Je ne vois pas comment tu as trouvé -1/4 ...
Donne éventuellement ton calcul.

Ah j'ai fait le calcul avec l'expression de vn+1 et non de vn, ce qui m'a donné :
v0= ((2/u0)-1)/((2/u0+2)).

Du coup je trouve que vn est une suite géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme v0= 1/2 aussi, ce qui me paraît assez improbable...
Pour trouver la raison, j'ai fait :
vn+1= un+1-2/un+1 +1
vn+1= (2/un +1)-2/(2/un +1)+1
vn+1= 2/un -1 / 2/un +2
vn+1= 2/un -1 x un/2+2
= 2/un -1+2 x 1/2un
= (2/un +1) x 1/2un
= un+1 x 1/2 un

Si tu as trouvé, aprés tous les calculs utiles, les valeurs de $v_0,v_1,v_2$ que je t'ai indiquées, tu peux conjecturer que la suite $v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=5$ et de raison $−12-\frac{1}{2}$

Pour ta démonstration, il y a des confusions...tu devrais arriver à $\fbox{v_{n+1}=-\frac{1}{2}v_n}$

Je vois une erreur de signe à la 3ème ligne

Tu devrais arriver à

$vn+1=2un−12un+2\displaystyle v_{n+1}=\frac{\frac{2}{u_n}-1}{\frac{2}{u_n}+2}$
puis
$vn+1=2−un2+2un\displaystyle v_{n+1}=\frac{2-u_n}{2+2u_n}$

En mettant ensuite $−12-\frac{1}{2}$ en facteur, tu dois aboutir à la réponse souhaitée

Ah d'accord j'ai tout compris, sauf pourquoi on trouve v0= 5

Bonjour margot7227,

C'est $v0=12v_0 = \dfrac{1}{2}$ .

Relis le début de la discussion
Je t'ai fait le calcul de $v0=12v_0=\frac{1}{2}$ car tu avais trouvé -1/4

Oui, c'est que je me disais
En tout cas je n'ai plus de question à poser.
Merci encore,
Margot7227

De rien Margot !
A+