DM avec des factorielles

Bonjour,
j'ai un DM à réaliser pour la rentrée des vacances mais je suis complètement bloquée. C'est un DM sur les factorielles mais aucune base n'a été posée au cours, je suis donc perdue.

Partie A: factorielle
Le factorielle d'un entier naturel non nul n est le produit des nombres entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux à n. Cette opération est notée avec un point d'exclamation: n!= 1x2x3x...xn

Etablir que pour tout entier k strictement supérieur à 1: k/k!= 1/(K-1)!

voila la première question j'ai commencé un raisonnement par récurrence mais je suis bloquer à l'hérédité.

Merci d'avance pour votre aide.

laure2906 , bonjour,

Un calcul direct suffit, en utilisant la définition donnée dans ton énoncé.

$kk!=k1×2×...×(k−1)×k\frac{k}{k!}=\frac{k}{1\times 2 \times...\times (k-1)\times k}$

$kk!=1×k1×2×...×(k−1)×k\frac{k}{k!}=\frac{1 \times k }{1\times 2 \times...\times (k-1)\times k}$

Tu simplifies par k

$kk!=11×2×...×(k−1)\frac{k}{k!}=\frac{1}{1\times 2 \times...\times (k-1)}$

Tu obtiens la réponse

$kk!=1(k−1)!\frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}$

Bonjour laure2906,

k! = 1x2x3x .... x(k-1)xk

Simplifie l'expression k/k!

@mtschoon @Noemi oui j'ai compris, c'était assez simple
pouvez-vous m'aider pour la question suivante ?
on a : fn(X)= e exposant (-x) * (1+x/1!+...+x exposant n/n!)

il faut montrer que la dérivé est f'n(x)=-e exposant (-x)*x exposant n /n!

j'ai bien trouver pour -e exposant (-x) mais je vois pas d'où sors le reste

laure2906,

Indique tes calculs,
la fonction est de la forme U x V donc sa dérivée est :
U'V + UV'

@noemi
U=e(-x)
V=x(n)/n!
U'=-e(-x)
V'=nx(n-1)/n! mais n! ne se dérive pas donc V' est nulle

Donc F'=-e(-x)*x(n)/n! + e(-x)*0
Donc F'=-e(-x)*x(n)/n!

Non,
$V(x) = 1 + x/1! + x^2/2! + .....x^n/n!$
$V^{'} (x) = . . . .$

@noemi
oui je comprends ça mais comment dériver V car on ne connait pas la valeur de n, donc on ne sait pas combien de terme on doit dériver

@laure2906
$V (x)$ à ( $n + 1$ ) termes donc tu dérives chaque termes.
$V^{'} (x)$ = $0 + 1 + 2x/2! + .... + nx^{n-1}/n!$
expression à simplifier

puis tu exprimes U'V+UV' que tu simplifies pour trouver l'expression demandée.

@laure2906

Les ... sont là pour indiquer les termes manquants que tu devines

Piste pour expliciter un peu, si besoin

$V(x)=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!\displaystyle V(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$

$V′(x)=0+11!+2x2!+3x23!+...+nxn−1n!\displaystyle V'(x)=0+\frac{1}{1!} +\frac{2x}{2! }+\frac{3x^2}{3!}+...+\frac{nx^{n-1}}{n!}$

Ensuite, tu simplifies chaque terme de cette somme en utilisant la propriété démontrée à la question 1 (qui était faite pour cela)

@mtschoon
donc 1/1! = 1/(1-1)! = 1
mais 2x/2! k n'est pas 2x

Pour simplifier chaque terme :

1!=1

Tu sais que $\fbox{\frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}}$

Pour k=2, $22!=1(1)!=1\frac{2}{2!}=\frac{1}{(1)!}=1$

Pour k=3, $33!=1(2)!\frac{3}{3!}=\frac{1}{(2)!}$

Pour k=4, $44!=1(3)!\frac{4}{4!}=\frac{1}{(3)!}$
...
...
Pour k=n, $nn!=1(n−1)!\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$

Tu en déduis l'expression la plus simple possible de $V^{'} (x)$

@mtschoon
si j'ai bien compris: 2x/2! = x/1! et 3x/3! = x/2!

je suis pas sur du tout

Pour les factorielles, ça va, mais tu sembles oublier les exposants de $x$

@mtschoon !
a oui 3x^2/2!

Pas tout à fait ...

$V′(x)=1+x+x22!+x33!+...+xn−1(n−1)!V'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$

je me suis trompé il reste -e(-x)*x(n)/n!

Ce serait bien que l'image soit lisible facilement...

Sur le document transmis,
une erreur à la première ligne : le dernier exposant de $x$ n'est par n+1 mais n-1
même erreur deuxième ligne
troisième ligne : c'est le dernier dénominateur en fin de ligne qui est faux ce n'est pas n! mais (n-1)!
Quatrième ligne : le premier 1 il manque le - ; et même erreur que la ligne précédente en fin de ligne.
Cinquième ligne : même erreur que les deux lignes précédentes.

@laure2906

Je n'ai pas regardé tes calculs vu la disposition de ton image , mais d'après ce que t'indique Noemi, il y a des erreurs...

Je te donne des indications sur le calcul de U'V+UV', avec ce qui a été trouvé précédemment
Pour mieux comprendre, tu pourras expliciter davantage.

$U′V+UV′=−e−x(1+x+...+xnn!)+e−x(1+x+...+xn−1(n−1)!)U'V+UV'=-e^{-x}(1+x+...+\frac{x^{n}}{n!})+e^{-x}(1+x+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})$

En mettant $e^{-x}$ en facteur
$U′V+UV′=e−x((−1−x−...−xnn!)+(1+x+...+xn−1(−n−1)!)U'V+UV'=e^{-x}\biggl((-1-x-...-\frac{x^n}{n!})+(1+x+...+\frac{x^{n-1}}{(-n-1)!}\biggl)$
En simplifiant (en comprenant ce qui se cache sous les ...), il reste
$U′V+UV′=e−x(−xnn!)U'V+UV'=e^{-x}\biggl(-\frac{x^n}{n!}\biggl)$

Tu n'a plus qu'à déplacer le signe "-" pour obtenir le résultat escompté.

Refais tout cela seul(e) et avec soin.