Equation différentielle

[Mathilde1]

Bonjour, j'ai des difficultés à faire cet exercice, je me bloque dès la première question, pouviez vous m'aider? Merci d'avance

Le carbone 14 est un corps radioactif constamment renouvelé (sa proportion par rapport à la quantité de
carbone global reste constant) chez les êtres vivants : à la mort de ceux-ci, l'assimilation cesse et le carbone
14 se désintègre.
Des archéologues souhaitent calculer l'âge des fragments d'os qu'ils ont trouvés. Ils savent que le nombre
N(t) d'atomes de carbone 14 évolue, au cours du temps t (en siècles), selon la loi :
[1] : N' ( t ) = −0, 012097×N( t)
Ainsi, la vitesse N' ( t ) de désintégration est proportionnelle au nombre restant d'atomes.

1. Montrer que les fonctions qui à t associent k×e
   −0,012097 t
   , où k est une constante réelle, vérifient
   toutes la loi [1].
2. Réciproquement, démontrer que si N' ( t ) = −0, 012097×N( t) alors il existe un réel k, tel que, pour
   tout t⩾0, N ( t )=k×e
   −0 ,012097t
   .
   Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction φ définie sur [ 0 ;+∞[ par φ ( t )=
   N ( t)
   e
   −0 ,012097 t
   .
3. Sachant que l'on note N0
   le nombre initial d'atomes de carbone 14, exprimer N(t) en fonction du
   temps t.
4. Justifier que le nombre de noyaux radioactifs diminue au fil du temps t.
5. En utilisant votre calculatrice, que devient les valeurs de N(t) lorsque t devient de plus en plus
   grand ? Interpréter ce résultat.
6. Quel est le pourcentage de diminution du nombre d'atomes radioactifs en 5000 ans ?
7. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'âge des fragments trouvés, sachant que la teneur en carbone
   14 est égale à 30% de celle d'un fragment d'os actuel de la même masse pris comme témoin.
8. Qu'appelle-t-on la « demi-vie » ?
9. Ecrire en langage naturel un algorithme permettant de déterminer le temps en années nécessaire
   pour que le nombre de noyaux radioactifs passe en dessous du seuil de la demi-vie. Le programmer
   sur votre calculatrice et le tester avec une valeur initiale d'atomes de carbone 14 égale à 1.

[Noemi]

Bonjour Mathilde1,

Pour la première question, calcule f'(t) et vérifie que la relation (1) est valide pour la fonction f.

[Mathilde1]

@noemi c'est là où je bloque, j'arrive pas à calculer f'(t)

[Noemi]

@mathilde1,

La dérivée de la fonction $e^u$ est $u^{\prime }{e}^u$
donc pour $f(t)=k{e}^{-0,012097t}$ ;
$f^{\prime }(t)=-0,012097k{e}^{-0,012097t}$
exprime maintenant $f^{\prime }(t)$ et fonction de $f(t)$ pour montrer que $f(t)$ vérifie l'équation (1)

[Mathilde1]

@noemi
Merci bcp.
Pour la question 3) j'ai fait N(t)= $N_0$*$e^{-0,012097t}$

[Noemi]

C'est correct.