les racines carrées d'un nombre complexe

Bonjour ,
j'arrive pas à trouver les racines carrées de $e^-$ $^i$ $^a$ et $e^i$ $^a$
aidez moi svp

Bonsoir saraSbh

Si $\rho e^{i\theta}$
$z\sqrt z$ = ± $ρeiθ/2\sqrt\rho e ^{i \theta/2}$

Bonsoir saraSBH, (et bonsoir Noemi) ,

Pour plus de précision, soit $z=ρeiθz=\rho e^{i\theta}$

Les deux racines carrées complexes de z sont
$\fbox{z_0=\sqrt \rho e^{i\frac{\theta}{2}}}$ et $\fbox{z_1=\sqrt \rho e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}}$

Les deux racines carrées complexes sont des nombres complexes opposés car
$z1=ρei(θ2+π)=−ρeiθ2=−z0z_1=\sqrt \rho e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}=-\sqrt \rho e^{i\frac{\theta}{2}}=-z_0$
Remarque :la forme exponentielle correcte de $z_1$ est $ρei(θ2+π)\sqrt \rho e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}$

Elles ont pour module $ρ\sqrt \rho$
Leurs arguments sont $θ2\frac{\theta}{2}$ pour l'une et $θ2+π\frac{\theta}{2}+\pi$ pour l'autre

Tu peux bien sûr les regrouper en une seule formule
$\fbox{\sqrt {\rho} e^{i(\frac{\theta}{2}+k\pi)}}$ avec $k∈Zk\in Z$
Pour k pair, tu obtiens $z_0$
Pour k impair, tu obtiens $z_1$

Pour ton exercice, tu peux penser que :
$e^{ia}=1e^{ia}$ , tu en déduis les deux racines carrées complexes

$e^{-ia}=1e^{i(-a)}$ , tu en déduis les deux racines carrées complexes

@mtschoon @Noemi merci bien

Bonjour saraSBH et Noemi,

Noemi, tu as bien fait de compléter ta réponse avec $±\pm$ , sinon il aurait manqué une racine carrée complexe.

Je reste plus que perplexe sur l'écriture $z\sqrt z$ pour z complexe...

saraSBH, dans une précédente discussion sur les racines carrées d'un nombre complexe, je t'ai mis un lien sur le sujet :
https://homeomath2.imingo.net/complex9.htm

Il es précisé clairement :
0_1542620440064_racineCarrée.jpg

Alors,pour éviter toute confusion, mieux vaut écrire en français : "les racines carrées complexes de Z sont ..."

Tu peux demander son avis à ton professeur de mathématiques.

Bon travail avec les complexes !