Intégrale / Convergence

coucou, désolé de revenir vous poser des questions mais je ne sais pas du tout traiter un exercice. Je le pose, si vous ne pouvez pas répondre tant pis

Il faut montre que l'intégrale converge et calculer l'intégrale.

$∫0∞1(1+ex)(1+e−x)\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+e^x)(1+e^{-x})}$ dx

Premièrement je ne comprends pas le terme converge.

Comment le prouver par le calcul.
Merci
A+

Bonjour tirlo,

Quelle définition as tu pour intégrale convergente ?
Une définition : Un intégrale converge en $+∞+\infty$ si la limite de sa primitive existe et est finie.
Pour le calcul de la primitive transforme la fonction :
$\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}$ qui est de la forme : $u′(x)(u(x))2\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}$

Je n'ai pas vraiment de définition. ce que j'ai compris (je pense) c'est qu'il faut remplacer le +infini de l'intégrale par un x

As tu calculer la primitive ?

non c'est trop complexe comme forme je ne vois rien sur mon forumulaire qui si rapproche

J'ai rectifié la forme, une primitive est $−1u(x)-\dfrac{1}{u(x)}$

Bonjour, est ce que la primitive est:
$11+e−x\frac{1}{1+e^{-x}}$ ?

Bonjour tirlo ,
La primitive est : $−11+ex+cte\dfrac{-1}{1+e^x} + cte$

Oui effectivement erreur de ma part dsl

Tu as trouvé la limite ?

Bonjour tirlo et Noemi,

Peut-être une petite précision pour la formulation,

@tirlo
Le CNED est réputé pour ses bons cours.
C'est surprenant que tu es un exercice portant sur une notion (ici, intégrale convergente), sans l'avoir vue dans le cours...

Voici une définition assez précise de la convergence d'une intégrale :
(j'ignore si c'est exactement la formulation de ton cours du CNED, mais vu que tu ne l'as pas trouvée, ce n'est pas grave !)

Soit f une fonction continue sur $[a,+∞[[a,+\infty[$

Soit $\fbox{I(X)=\int_a^{X}f(x)dx}$ et Soit $\fbox{I=\int_a^{+\infty}f(x)dx}$

$\fbox{\displaystyle \lim_{X\to +\infty}I(X)=I}$

On dit que l'intégrale I converge si la limite I de I(X) lorsque X tend vers $+∞+\infty$ est un nombre réel fixé . Sinon, l'intégrale diverge.

Dans cet exercice, a=0

Grâce aux indications de Noemi :

$]0XI(X)=[\ \frac{-1}{1+e^{x}}\ ] _0^X$

Il te reste à expliciter I(X) et trouver sa limite.

Donne ta réponse si tu veux une vérification.

Merci de me répondre
$−11+e∞\frac{-1}{1+e^{\infty}}$ - $−11+e0\frac{-1}{1+e^0}$
Le premier tend vers 0 le second vaut 1/2

L'idée est juste et ta réponse aussi mais ta rédaction n'est pas correcte.

$I(X)=−11+eX−−11+e0=−11+eX−−12=−11+eX+12I(X)=\frac{-1}{1+e^X}-\frac{-1}{1+e^0}=\frac{-1}{1+e^X}-\frac{-1}{2}=\frac{-1}{1+e^X}+\frac{1}{2}$

$lim⁡X→+∞eX=+∞\displaystyle \lim_{X \to +\infty }e^X=+\infty$

Donc $lim⁡X→+∞−11+eX=0\displaystyle \lim_{X \to +\infty} \frac{-1}{1+e^X}=0$

Donc $lim⁡X→+∞I(X)=0+12=12\displaystyle \lim_{X \to +\infty}I(X)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Tu peux conclure que $I=12I=\frac{1}{2}$
c'est à dire :

$∫0∞1(1+ex)(1+e−x)dx=12\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+e^x)(1+e^{-x})}dx=\frac{1}{2}$
(intégrale convergente)

Merci je vais travailler sur la démarche alors

Bonne idée, mais tu as déjà bien travaillé !