Décomposition fraction rationnelle

Coucou, dernier discussion où j'ai besoin d'un peu d'aide.

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $1x(1+x2)2\frac{1}{x(1+x^2)^2}$ et calculer ses primitives sur ]0,+infini[
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $(x2−1)(x3+3)2x2+2x\frac{(x^2-1)(x^3+3)}{2x^2+2x}$ et calculer ses primitives sur R*
j'ai compris qu'il fallait faire $??x\frac{??}{x}$ + $??(1+x2)\frac{??}{(1+x^2)}$ + $??(1+x2)2\frac{??}{(1+x^2)^2}$ Après je pense que pour les primitives il n'y aura pas trop de probleme maintenant que Noemi m'a expliqué

Bonsoir tirlo ,

Pour la première décomposition écris la fraction sous la forme :
$ax+bx+c1+x2+dx+f(1+x2)2\dfrac{a}{x} + \dfrac{bx+c}{1+x^2} + \dfrac {dx+f}{(1+x^2)^2}$
et en réduisant au même dénominateur puis en identifiant membre à membre tu détermines les valeurs de a, b, c, d, f.
Tu dois trouver a = 1 ; b = -1 ; c = 0 ; d = -1 et f = 0.

Pour la deuxième fraction, tu peux utiliser la division euclidienne.

Bonsoir est ce qu'il faut faire a*(1+x²)*(1+x²)² etc... parce que 1+x² et (1+x²)² ont un rapport l'un pour l'autre

Bonsoir tirlo,

le dénominateur commun est $x(1+x^2)^2$
Pour obtenir une fraction équivalente , on multiplie numérateur et dénominateur par le même terme donc le numérateur devient :
$a( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)x$
expression qui doit être égale à 1.

Oui pour le même dénominateur mais pourquoi l'expression =1 dans ce cas cas il n'y a pas de égal?

@tirlo

Au début :

$ax+bx+c1+x2+dx+f(1+x2)2=1x(1+x2)2\dfrac{a}{x} + \dfrac{bx+c}{1+x^2} + \dfrac {dx+f}{(1+x^2)^2} = \dfrac{1}{x(1+x^2)^2}$
puis
$a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)xx(1+x2)2=1x(1+x2)2\dfrac {a( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)x}{x(1+x^2)^2} = \dfrac{1}{x(1+x^2)^2}$

Pour $x≠0x\neq0$
$a( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)x = 1$
que tu développes et ordonnes
$ax^4+bx^4+cx^3+2ax^2+bx^2+dx^2+cx+fx+a = 1$
qui conduit au système
${a+b=0c=02a+b+d=0c+f=0a=1\begin{cases} a+ b = 0 \cr c =0 \cr 2a+b+d = 0 \cr c+f = 0 \cr a = 1 \end {cases}$

Système à résoudre.

je l'ai ai tous sauf 2ax² --> a(1²+x^4) --> a + ax^4

Mais surtout je ne vois pas apès le développement comment obtenir le systeme dsl

$1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4$ c'est une identité remarquable.

A partir de :
$ax^4+bx^4+cx^3+2ax^2+bx^2+dx^2+cx+fx+a = 1$
Tu identifies à partir des puissances
$ax^4 + bx^4 = 0x^4$ donc $a + b = 0$
$cx^3 = 0x^3$ donc $c = 0$
$2ax^2 + bx^2 + dx^2 = 0x^2$ donc $2 a + b + d = 0$
.....

J'ai compris merci Noemi

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