Décomposition fraction rationnelle


  • ?

    Coucou, dernier discussion où j'ai besoin d'un peu d'aide.

    1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1x(1+x2)2\frac{1}{x(1+x^2)^2}x(1+x2)21 et calculer ses primitives sur ]0,+infini[

    2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle (x2−1)(x3+3)2x2+2x\frac{(x^2-1)(x^3+3)}{2x^2+2x}2x2+2x(x21)(x3+3) et calculer ses primitives sur R*

    3. j'ai compris qu'il fallait faire ??x\frac{??}{x}x?? +??(1+x2)\frac{??}{(1+x^2)}(1+x2)?? + ??(1+x2)2\frac{??}{(1+x^2)^2}(1+x2)2?? Après je pense que pour les primitives il n'y aura pas trop de probleme maintenant que Noemi m'a expliqué


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir tirlo ,

    Pour la première décomposition écris la fraction sous la forme :
    ax+bx+c1+x2+dx+f(1+x2)2\dfrac{a}{x} + \dfrac{bx+c}{1+x^2} + \dfrac {dx+f}{(1+x^2)^2}xa+1+x2bx+c+(1+x2)2dx+f
    et en réduisant au même dénominateur puis en identifiant membre à membre tu détermines les valeurs de a, b, c, d, f.
    Tu dois trouver a = 1 ; b = -1 ; c = 0 ; d = -1 et f = 0.

    Pour la deuxième fraction, tu peux utiliser la division euclidienne.


  • ?

    Bonsoir est ce qu'il faut faire a*(1+x²)*(1+x²)² etc... parce que 1+x² et (1+x²)² ont un rapport l'un pour l'autre


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir tirlo,

    le dénominateur commun est x(1+x2)2x(1+x^2)^2x(1+x2)2
    Pour obtenir une fraction équivalente , on multiplie numérateur et dénominateur par le même terme donc le numérateur devient :
    a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)xa( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)xa(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)x
    expression qui doit être égale à 1.


  • ?

    Oui pour le même dénominateur mais pourquoi l'expression =1 dans ce cas cas il n'y a pas de égal?


  • N
    Modérateurs

    @tirlo

    Au début :

    ax+bx+c1+x2+dx+f(1+x2)2=1x(1+x2)2\dfrac{a}{x} + \dfrac{bx+c}{1+x^2} + \dfrac {dx+f}{(1+x^2)^2} = \dfrac{1}{x(1+x^2)^2}xa+1+x2bx+c+(1+x2)2dx+f=x(1+x2)21
    puis
    a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)xx(1+x2)2=1x(1+x2)2\dfrac {a( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)x}{x(1+x^2)^2} = \dfrac{1}{x(1+x^2)^2}x(1+x2)2a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)x=x(1+x2)21

    Pour x≠0x\neq0x=0
     a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)x=1\ a( 1+x^2)^2 + (bx+c)x(1+x^2) + (dx+f)x = 1 a(1+x2)2+(bx+c)x(1+x2)+(dx+f)x=1
    que tu développes et ordonnes
    ax4+bx4+cx3+2ax2+bx2+dx2+cx+fx+a=1ax^4+bx^4+cx^3+2ax^2+bx^2+dx^2+cx+fx+a = 1ax4+bx4+cx3+2ax2+bx2+dx2+cx+fx+a=1
    qui conduit au système
    {a+b=0c=02a+b+d=0c+f=0a=1\begin{cases} a+ b = 0 \cr c =0 \cr 2a+b+d = 0 \cr c+f = 0 \cr a = 1 \end {cases}a+b=0c=02a+b+d=0c+f=0a=1

    Système à résoudre.


  • ?

    je l'ai ai tous sauf 2ax² --> a(1²+x^4) --> a + ax^4

    Mais surtout je ne vois pas apès le développement comment obtenir le systeme dsl


  • N
    Modérateurs

    (1+x2)2=1+2x2+x4(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4(1+x2)2=1+2x2+x4 c'est une identité remarquable.

    A partir de :
    ax4+bx4+cx3+2ax2+bx2+dx2+cx+fx+a=1ax^4+bx^4+cx^3+2ax^2+bx^2+dx^2+cx+fx+a = 1ax4+bx4+cx3+2ax2+bx2+dx2+cx+fx+a=1
    Tu identifies à partir des puissances
    ax4+bx4=0x4ax^4 + bx^4 = 0x^4ax4+bx4=0x4 donc a+b=0a + b = 0a+b=0
    cx3=0x3cx^3 = 0x^3cx3=0x3 donc c=0c = 0c=0
    2ax2+bx2+dx2=0x22ax^2 + bx^2 + dx^2 = 0x^22ax2+bx2+dx2=0x2 donc 2a+b+d=02a + b + d = 02a+b+d=0
    .....


  • ?

    J'ai compris merci Noemi


  • N
    Modérateurs

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