La dérivée et la valeur absolue


  • ?

    Bonjour à tous j'espère que vous allez bien !
    J'ai une question concernant la dérivation
    J'ai une fonction f(x)=arctan (x+1)/(x+1)
    Je dois prouver que |f'(x)| inférieur ou égal à 1/2 (pour tout x appartient à ]0;1[ )
    J'ai calculé la dérivée et j'ai trouvé
    0_1544179602570_Screenshot_2018-12-07-11-40-30-1-1.png
    f'(x)<0
    Mais je sais pas l'étape suivante
    Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît !


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne,

    Cherche un majorant sur ]0;1[.


  • ?

    @noemi Merci ! J'ai utilisé une autre manière j'ai simplement calculer |f'(x)|-1/2 ( mais parfois ça ne donne rien; pour trouver le majorant je doit calculer f"(x) n'est ce pas? )


  • N
    Modérateurs

    Dans la valeur absolue, tu as une différence, tu cherches le terme le plus grand et tu le majores.
    Tu utilises directement la dérivée.
    Sur l'intervalle ]0;1[,
    comment varie (x+1)2(x+1)^2(x+1)2 ?
    arc tan (x+1) ?

    L'écriture de la fonction est-elle correcte ?


  • mtschoon

    Bonjour Mathématicienne et bonjour Noemi,

    Je suis perplexe sur cette question...

    Mathématicienne, la fonction est-elle vraiment définie par f(x)=Arctan(x+1)x+1f(x)=\dfrac{Arctan(x+1)}{x+1}f(x)=x+1Arctan(x+1) ?

    Si c'est le cas, le domaine de définition et de dérivabilité est R / {-1}
    Sur ce domaine, f'(x) est bien la bonne expression (si f(x) est la bonne expression) mais cette dérivée est vraiment "lourde" à manipuler...

    Si tu représentes f' sur ta calculette par exemple, tu constateras qu'elle est strictement comprise entre -1/2 et 1/2 ( plus précisément comprise entre -0.29... et +0.29...) pour tout x du domaine donc à forciori |f'| est strictement inférieure à 1/2 ( plus précisément inférieure +0.29...)

    Je joins la représentation graphique de |f'| (eu rouge) et de y=1/2 (en bleu)
    (Pour -1 (valeur interdite) , le graphique donne 0 qui est le prolongement par continuité.)

    0_1544347816986_Arctan.jpg

    Vouloir prouver que ∣f′(x)∣≤12|f'(x)| \le \frac{1}{2}f(x)21 sur ]0,1[ ne me semble pas avoir d'intérêt.

    J'ai un doute sur l'énoncé donné...
    Si besoin, vérifie l'expression de f(x) et donne tout l'énoncé pour qu'on puisse en comprendre la finalité