Étude d'une famille de fonctions (avec exponentielle) dépendant d'un paramètre.

[mounkaila]

Bonjours S'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à démarrer
Le repère (O, i, j) est orthogonal. L’unité graphique est égale à 2 cm sur (Oi) et à 15 cm sur (Oj). Soit $f_m$ la famille de fonctions définies par :

$f_m(x)$=$\frac{x^m}{m!}{e}^{-x}$ où m est un nombre entier naturel non nul. On désigne par ($C_m$) la courbe représentative de $f_m$

1. a) Démontrer par récurrence sur m que :
   $\forall m\in N\ast ,$$(\forall x\in [0;+\infty [$,
   $e^x$>$\frac{x^m}{m!}$
   En déduire que les parties d'abscisses positives des courbes ($C_m$) sont comprises entre les droites d'équations y=0 et y=1.
   b) Calculer alors la limite de $f_m(x)$ quand x tend vers +oo.
2. a) Étudier les variations de ($C_m$) suivant les valeurs de m.
   (On distinguera les cas m = 1, m pair et m impair).
   b) Dresser les tableaux de variations correspondant à chaque cas.
3. On désigne par $A_m$ le point de ($C_m$)  dont l'abscisse définit le maximum relatif de ($f_m$)

a) Vérifier que : $\forall m\in N\ast$, $f_m-f_{m+1}=f_{m+1}^{\prime }$
Étudier la position relative des courbes ($C_m$) et ($C_{m+1}$) et démontrer que ces courbes se coupent en O et $A_m$
b) Étudier la position relative des courbes ($C_m$) et ($C_{m+2}$) et démontrer que ces courbes se coupent en O et en un point dont l'abscisse appartient à [m + 1 ; m + 2].
4. Utiliser les résultats précédents pour tracer les courbes ($C_1$).($C_2$)  et ($C_3$). On précisera les points d' intersection des courbes que la question précédente permet de connaître, ainsi que les tangentes en O à ces diferentes courbes.

• élément de liste

[mtschoon]

Bonsoir mounkaila,

Une piste possible pour démarrer la récurrence

Soit $g_m(x)=e^x-\frac{x^m}{m!}$

Initialisation pour m=1

$g_1(x)=e^x-\frac{x^1}{1!}=e^x-x$
$g^{\prime }(x)=e^x-1$

Pour $x\ge 0$, $g^{\prime }(x)\ge 0$ donc g croissante .
or $g_1(0)=1$ donc $g_1(x)\ge 1$ donc $g_1(x)>0$
Conclusion :
$e^x-x>0$
$e^x>x$

Applique la même démarche pour l'hérédité

Tu supposes que $g_m(x)>0$

$g_{m+1}(x)=e^x-\frac{x^{m+1}}{m+1!}$
Tu calcules sa dérivée, son signe d'où le sens de variation de $g_{m+1}$
Tu calcules $g_{m+1(0)}$
Tu tires la conclusion en utilisant l'hypothèse de la récurrence.

Reposte si besoin.