Linéarisation cos^n (x)

Bonsoir à tout les membres !
J'ai une question que je pense "très difficile "
Je dois faire la linéarisation de cos^n (x)
( en utilisant le binôme de Newton )
On sait aussi que $cosn(x)=(eix+e−ix2)ncos^n(x)=\biggl(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \biggl)^n$
J'espère que vous m'aider... merci d'avance

(formule Latex remise en forme)

Bonjour Mathématicienne,

Utilise la relation indiquée, avec le binôme de Newton cela donne :
$cosn(x)=12n∑m=0n(nm)eimxe−i(n−m)xcos^n(x)= \dfrac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{m=0}^{n} \binom {n}{m} e^{imx}e^{-i(n-m)x}$ qui se simplifie en : ......

Tu étudies ensuite les cas n pair et n impair.

Bonjour Mathématicienne et Noemi,

C'est pratiquement du cours, cette question ( mais pas du cours de terminale, plutôt du cours de Sup ).

Mathématicienne, si ça peut t'être utile pour vérifier tes réponses, tu peux consulter ici : page 59 et page 60.
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/Poly/poly_L1S1_NZQRC.pdf

Une remarque :
Pour bien maîtriser la méthode, même si ce n'est pas demandé dans ton exercice, je te conseille de commencer par des exemples simples :

un exemple pour n impair
$cos3x=14cos3x+34cosxcos^3x=\frac{1}{4}cos3x+\frac{3}{4}cosx$
un exemple pour n pair
$cos4x=18cos4x+12cos2x+38cos^4x=\frac{1}{8}cos4x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}$

(Bien sûr, pour n pair, tu peux te contenter de $cos2x=12cos2x+12cos^2x=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$ , mais fais le calcul avec les formules d'Euler et binôme, sans les propriétés usuelles)

Bon courage pour les calculs !

Bonjour @mtschoon et @Noemi
Mercii , j'ai fait le même avec
$sin^4(x)=(3/8)-(1/2)cos(2x)+(1/8)cos(4x)$
Et aussi ;
$sin^3(x)=(3/4)sinx-(1/4)sin(3x)$

Dans la démonstration j'arrive à
1/(2^n) Σ(de k=0 jusqu'à n) C(k,n)cos((n-2k)x)
Je sais pas ce que se que je dois faire après cela !

Bonjour Mathématicienne,

Les deux premiers résultats sont justes.

Pour la démonstration, tu étudies le cas n pair ou n impair ?

mtschoon t'a indiqué un site ou tu as une solution détaillée pour les cas n pair et n impair.
Analyse cette réponse et propose nous tes questions ou difficultés de compréhension.

@Mathématicienne

Ta réponse pour $cos^nx$ est bizarre.

En utilisant tes notations, avec la formule du binôme et les simplifications, tu devrais arriver d'abord à :
$cosnx=12n∑k=0k=nC(k,n)ei(2k−n)x\displaystyle \boxed{cos^nx=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{k=n}C(k,n)e^{i(2k-n)x}}$
Tu peux aussi écrire (si tu explicites, tu verras que ça revient au même)
$cosnx=12n∑k=0k=nC(k,n)ei(n−2k)x{\displaystyle \boxed{cos^nx=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{k=n}C(k,n)e^{i(n-2k)x}}}$

(Tu as écrit " $c o s ((n - 2 k) x$ " au lieu de $e^{i(n-2k)x}$ )

Ensuite, tu transformes en deux cas : n pair et n impair

*Comme te le rappelle Noemi, essaie de consulter le site indiqué
(C'est un cours gratuit, consultable, de l'université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand)

Bonsoir @mtschoon et @Noemi
Oui maintenant j'ai compris !
J'ai trouvé la même formule , et après je dois remplacer n par 2p+1 et 2p . Ça devient plus clair !

Bonjour Mathématicienne,

C'est bien si tu as tout compris.

Tu peux tester les formules pour différentes valeurs de n.

Bonjour

Même si ma réponse concerne une question ancienne, le sujet est toujours d'actualité.
Je mets en ligne une proposition de solution, validée mais pas habituelle.
Elle est basée sur les coefficients calculés à la manière du triangle de Pascal :

https://promenades-mathematiques.jimdofree.com/linearisation/

Merci pour le retour.
Et bonne utilisation.
michelR