Linéarisation cos^n (x)


  • ?

    Bonsoir à tout les membres !
    J'ai une question que je pense "très difficile "
    Je dois faire la linéarisation de cos^n (x)
    ( en utilisant le binôme de Newton )
    On sait aussi que cosn(x)=(eix+e−ix2)ncos^n(x)=\biggl(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \biggl)^ncosn(x)=(2eix+eix)n
    J'espère que vous m'aider... merci d'avance

    (formule Latex remise en forme)


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne,

    Utilise la relation indiquée, avec le binôme de Newton cela donne :
    cosn(x)=12n∑m=0n(nm)eimxe−i(n−m)xcos^n(x)= \dfrac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{m=0}^{n} \binom {n}{m} e^{imx}e^{-i(n-m)x}cosn(x)=2n1m=0n(mn)eimxei(nm)x qui se simplifie en : ......

    Tu étudies ensuite les cas n pair et n impair.


  • mtschoon

    Bonjour Mathématicienne et Noemi,

    C'est pratiquement du cours, cette question ( mais pas du cours de terminale, plutôt du cours de Sup ).

    Mathématicienne, si ça peut t'être utile pour vérifier tes réponses, tu peux consulter ici : page 59 et page 60.
    http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/Poly/poly_L1S1_NZQRC.pdf

    Une remarque :
    Pour bien maîtriser la méthode, même si ce n'est pas demandé dans ton exercice, je te conseille de commencer par des exemples simples :

    un exemple pour n impair
    cos3x=14cos3x+34cosxcos^3x=\frac{1}{4}cos3x+\frac{3}{4}cosxcos3x=41cos3x+43cosx
    un exemple pour n pair
    cos4x=18cos4x+12cos2x+38cos^4x=\frac{1}{8}cos4x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}cos4x=81cos4x+21cos2x+83

    (Bien sûr, pour n pair, tu peux te contenter de cos2x=12cos2x+12cos^2x=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x=21cos2x+21, mais fais le calcul avec les formules d'Euler et binôme, sans les propriétés usuelles)

    Bon courage pour les calculs !


  • ?

    Bonjour @mtschoon et @Noemi
    Mercii , j'ai fait le même avec
    sin4(x)=(3/8)−(1/2)cos(2x)+(1/8)cos(4x)sin^4(x)=(3/8)-(1/2)cos(2x)+(1/8)cos(4x)sin4(x)=(3/8)(1/2)cos(2x)+(1/8)cos(4x)
    Et aussi ;
    sin3(x)=(3/4)sinx−(1/4)sin(3x)sin^3(x)=(3/4)sinx-(1/4)sin(3x)sin3(x)=(3/4)sinx(1/4)sin(3x)

    Dans la démonstration j'arrive à
    1/(2^n) Σ(de k=0 jusqu'à n) C(k,n)cos((n-2k)x)
    Je sais pas ce que se que je dois faire après cela !


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne,

    Les deux premiers résultats sont justes.

    Pour la démonstration, tu étudies le cas n pair ou n impair ?

    mtschoon t'a indiqué un site ou tu as une solution détaillée pour les cas n pair et n impair.
    Analyse cette réponse et propose nous tes questions ou difficultés de compréhension.


  • mtschoon

    @Mathématicienne

    Ta réponse pour cosnxcos^nxcosnx est bizarre.

    En utilisant tes notations, avec la formule du binôme et les simplifications, tu devrais arriver d'abord à :
    $\displaystyle \fbox{cos^nx=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{k=n}C(k,n)e^{i(2k-n)x}}$
    Tu peux aussi écrire (si tu explicites, tu verras que ça revient au même)
    ${\displaystyle \fbox{cos^nx=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{k=n}C(k,n)e^{i(n-2k)x}}}$

    (Tu as écrit "cos((n-2k)x" au lieu de ei(n−2k)xe^{i(n-2k)x}ei(n2k)x )

    Ensuite, tu transformes en deux cas : n pair et n impair

    *Comme te le rappelle Noemi, essaie de consulter le site indiqué
    (C'est un cours gratuit, consultable, de l'université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand)


  • ?

    Bonsoir @mtschoon et @Noemi
    Oui maintenant j'ai compris !
    J'ai trouvé la même formule , et après je dois remplacer n par 2p+1 et 2p . Ça devient plus clair !


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Mathématicienne,

    C'est bien si tu as tout compris.

    Tu peux tester les formules pour différentes valeurs de n.