DEVOIR MAISON SUITES NUMERIQUES

bonjour, j'ai un devoir maison avec deux exercices, un petit sur les suites numériques et un autre sur les probabilités.
Exercice 1 : sur les suites + algorithmes

montrer que pour tout n entier naturels on a
$2^{n+1}-2^n=2^n$ (code rectifié par la modération)
on considère l'algorithme : entrée: n entier naturel
initialisation: S prend la valeur 1
traitement: pour i allant de 1 à n faire S<-- S+2^i
affichage: afficher S
on fait fonctionner l'algorithme avec n=5

Quel valeur obtient-on en affichage ? justifier

On considère la somme :
$S= 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^n$
en réinvestissant la question 1 donner une expression simple de S en fonction de n

Pour cet exercice j'ai seulement réussi à faire l'algorithme en trouvant 63 comme valeur de sortie.

exercice 2 (énoncé supprimé )

Bonjour shana67,

Un exercice par post, donc propose le deuxième avec un autre titre.

Pour l'exercice sur les suites, indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
L'énoncé de la première question est-il complet ?

ah désolé je ne savais pas.
oui l'énoncé de la première question est complet. Justement c'est pour cette question que je bloque je n'arrive pas a la faire je ne sais pas par quoi commencer et du coup çamebloque pour la 3)

@shana67,

Je suppose que l'équation indiquée est $2^{n+1} - 2^n = 2 ??$
C'est plutôt $2^{n+1} - 2^n = 2^n$
car :
$2^{n+1} - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n$

Oui en effet j’ai oublié la puissance de n

@shana67,

Essaie de faire fonctionner l'algorithme
S = 1
i = 1 donne S = 1+2 = 3
S = 3
i = 2 donne .....

@noemi
L’algoriThme j’ai reussi a le faire fonctionner et a la fin j’obtiens 63
C’est le petit 1 et 3 que j’arrive pas a faire

@shana67

Pour la question 1, j'ai indiqué la solution.
Pour la question 2, as-tu justifié la réponse ?
Pour la question 3, Cherche la nature de la suite.
puis la somme des termes de cette suite

@noemi
Oui oui la question 1 je l’ai refait sur feuille et j’ai compris merci
La 2 je l’ai justifié j’ai réécrit les calculs sur feuilles de brouillon et du coup comme resultat final qui sera affiché par l’algorithme je trouve 63.
Et pour la question 3 afin de trouver la nature de la suite je dois m´aider du 1) ?

@shana67
Pour la nature analyse comment on passe d'un terme à l'autre
de $2^0$ = 1 à 2
de $2^1$ = $2$ à $2^2$ = 4
...

Pour le calcul de la somme, tu utilises la relation donnée au 1)

@noemi
Daccord merci beaucoup
Je pourrais vous donnez mes resultats demain ? Pour voir si mes reponses seront justes

@shana67,

Oui, tu peux indiquer tes résultats pour correction.

@noemi
Question 1 : 2^n+1-2^n= 2^n
2^n x 2^1 - 2^n =2^n
2^n ( 2^1 - 1) = 2^n
Question 2 : pour l’algorithme j’ai fais tous les calculs necessaire pour trouver la valeur final et j’ai trouvé que pour i=5 soit la la valeur de sortie S= 63
Question 3: S= 2^0+2^1+2^2+2^3+...2^n
Soit S = 2^0(2-1)+2^1(2-1)+2^2(2-1)+2^3(2-1)+...2^n(2-1)
Soit S=1+2+4+8+16+...+2^n j’ai remarqué que d´une valeur a une autre on fait x2
Donc l’expression simple de S en fonction de n j’ai mis que c’etait S(n)=2^n(2-1)

Voila j’espere avoir juste

@shana67

Pour la question 1,
j'ai indiqué la démonstration : $2n+1−2n=2n×2−2n=2n(2−1)=2n2^{n+1} - 2^n = 2^n\times2 - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n$

Pour la question 3, il faut démontrer que $S_n$ est la somme des termes d'une suite géométrique ....
Puis utiliser la formule de la somme.

@noemi
Mais je n’ai pas encore fais les suites geometriques en cours

@shana67
Il faut utiliser la question 1
$S_n = (2^1-2^0) + (2^2-2^1) + ...... + (2^{n+1}-2^n)$
simplifie cette expression

@noemi
Je ne comprends pas cette expression
( dsl je deviens pesante)

@shana67,

Je développe
$S_n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^n$
or d'après la relation de la question 1, en la prenant de droite à gauche
on peut écrire $2^0 = 2^1 -2^0$ ; $2^1 = 2^2 - 2^1$
que l'on remplace dans l'expression
$S_n = (2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) +(2^3 - 2^2) ...... + (2^{n+1}-2^n)$
Il reste à simplifier cette expression , il reste deux termes
$S_n = ......$

@noemi
D’accord merci je vais essayer

@shana67
Alors j’ai fais ce que vous m’avez dit
S(n)=(2^1-2^0)+(2^2-2^1)+(2^3-2^2)+(2^4-2^3)+(2^5-2^4)
Soit 1+2+4+8+16=31 (je ne sais pas si cela est utile)
S(n) =2^n+1-2^n
(Je ne suis absolument pas sure tous reste un peu confus)

@shana67

$S_n = (2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) +(2^3 - 2^2) ...... + (2^{n+1}-2^n)$
Il reste à simplifier cette expression , il reste deux termes
$S_n = 2^1 - 2^0 + 2^2 - 2^1 +2^3 - 2^2 ...... + 2^{n+1}-2^n$
Si tu analyses les termes tu dois remarquer que tu trouves des termes qui s'annulent deux à deux
$2^1 - 2^1$ ; $2^2 - 2^2$ .....
d'ou il reste $2^0$ et $2^{n+1}$
$S_n = 2^{n+1} - 2^0 = 2^{n+1} - 1$

@noemi
Du coup j’ai re fais ce que vous avez fais mais moi il me reste 2^0 2^n+1 et 2^n
2^1-2^0+2^2-2^1+2^3-2^2+2^4-2^3-+2^n+1-2n
Je dois avoir faux quelques part

@shana67,

Les .... indique qu'il manque des termes mais qu'ils s'écrivent comme les termes précédent.
Devant $2^{n+1} - 2^n$ se trouve le terme $2^n - 2^{n-1}$

Donc le terme $2^n$ s'annule avec le terme $2^n$ .

@noemi
Ah daccord mercii beaucoup je pense que maintenant j’ai compris j’ai aussi regardé une video explicative
Encore merci et bonne journe

@shana67

Bonne fin de journée.