Dérivées et fonctions

[Lolidy]

Bonsoir,
J’ai du mal à finir mon exercice ci dessous:

Soit u définie et dérivable sur ]0;+ \infty [ telle que:
(1) $\forall x\in ]0;+\infty [$, $e^{u(x)}=x$
Et (2) pour tout $a,b\in ]0;+\infty [,u(ab)=u(a)+u(b)$

1. en utilisant la relation (1) montrer que u(1)=0
2. en utilisant la relation (2) montrer que $u{(}^1{/}_2)=-u(b)$ et $u{(}^a{/}_b)=u(a)-u(b)$ avec $(b\ne 0)$
3. Montrer par récurrence que, pour tout $n\ge 1,u(a^n)=n\times u(a)$

Donc j’ai fait ces 3 questions mais je bloque aux 3 suivantes:

4. En utilisant la relation (1) et la dérivée de composées de deux fonctions, montrer que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.
5. en déduire les variations de la fonction u sur $]0;+\infty [$
6. conjecturer la limite de u en $+\infty$

Merci beaucoup d’avance.

Ps: désolée, je n’ai pas réussi à écrire les formules correctement...

"Formules et relations modifiées par un modérateur"

[Noemi]

Bonsoir Lys2001,

L'écriture est difficile à lire.

Question 4, si tu calcules la dérivée : de chaque terme de l'expression $e^{u(x)}=x$
tu déduis : $u^{\prime }(x)e^{u(x)}=1$
soit $u^{\prime }(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}$ , or $e^{u(x)}=x$
donc .....

Je te laisse conclure

Pour les variations, tu étudies le signe de la dérivée.

[Lolidy]

@noemi merci beaucoup et oui je sais, je suis désolée pour l’écriture mais je n’arrivais pas à écrire correctement...

[Noemi]

@lys2001,

J'ai modifié les écritures, peux tu vérifier que cela correspond à l'énoncé et indiquer le cas échéant les erreurs.