Suites géométriques Vn en fonction de Un

Bonjour,

Je remercie par avance ceux qui pourront m'aider et m'expliquer.
Je suis militaire en reconversion et je replonge dans les maths 16 après ma terminale

J'essaye de me remettre à niveau mais j'ai un exercice sur les suites a faire et je ne comprends plus rien. help please.

La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par :
$U_0 = 5$
$Un+1=1+Un2U_{n+1}=1+\dfrac{U_n}{2}$
On introduit une suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par $V_n = -2+ U_n$ .

Montrer que (Vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme V0.
Montrer qu1}{2})^n pour tout nombre entier naturel n, on a

$Un=2+3(12)nU_n =2+3(\frac{ 1}{2})^n$ (formule rectifiée)

Etudier les variations de la suite (Un).
Calculer la limite quand n tend vers + infini de la suite (Un).

En attente de votre réponse et encore merci beaucoup

Bonsoir YB,

Pour montrer que la suite $V_n$ est géométrique, il faut établir le relation entre $V_{n+1}$ et $V_n$
Donc à partir de la relation de $V_n$ , on écrit
$V_{n+1}$ = $2+U_{n+1}$
puis à partir de la relation $Un+1=1+Un2U_{n+1}=1+\dfrac{U_n}{2}$
$V_{n+1}$ = $−2+1+Un2-2+1+\dfrac{U_n}{2}$ = $−1+Un2-1+\dfrac{U_n}{2}$
or $U_n = V_n+2$ (1)
$V_{n+1}$ = $−1+Vn2+1-1+\dfrac{V_n}{2}+1$ = $Vn2\dfrac{V_n}{2}$
Soit $Vn+1=12VnV_{n+1}=\dfrac{1}{2} V_n$
donc $V_n$ est une suite géométrique de raison $12\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $V_0 = -2+5= 3$ .

Pour la question 2. vérifie l'expression indiquée.
Il faut exprimer $V_n$ en fonction de n puis remplacer cette relation dans l'équation (1)
Indique tes calculs si tu souhaites une correction et toutes questions.

Merci pour cette réponse
Petite correction sur le sujet pour la question 2
2. Montrer que pour tout nombre entier naturel n, on a $Un =2+3(1/2)^n$
je vais essayer de la résoudre et je vous tiens au courant

Tu utilises la relation pour une suite géométrique :
$Vn=V0×qnV_n = V_0 \times q^n$

si j'ai bien compris:

$Vn=Vo * q^n$
nous avons $V o = 3$ et $q = 1 / 2$
donc $Vn=3(1/2)^n$ or $V n = - 2 + U n$ => $U n = 2 + V n$
On remplace $V n$ et obtient $Un=2+3(1/2)^n$

J'ai tout bon?

Oui tout juste.

Je suppose donc que pour la troisième ca revient a faire une étude de fonction

Pour l'étude des variations, tu cherches le signe de $U_{n+1}-U_n$ .

Pour la limite, tu utilises l'expression de $U_n$ en fonction de n.

Je prends donc
$U n + 1 = 1 + U n / 2$ et $Un=2+3(1/2)^n$
donc
$Un+1 - Un= -4 + Un/2 -( 2+3(1/2)^n)$ et ainsi de suite ?

$Un+1−Un=2+3(12)n+1−(2+3(12)n)U_{n+1} - U_n= 2+3(\dfrac{1}{2})^{n+1} - (2+3(\dfrac{1}{2})^n)$

à développer et à simplifier.

j'ai peur de répondre une bêtise mais ça me permettra de progresser:
$Un+1-Un=3(1/2^(n+1) - 1/2^n)$

J'ai vraiment du mal désolé

Et en plus je suis de garde sentinelle ça aide pas à prendre le temps de réfléchir

$Un+1−Un=2+3(12)n+1−(2+3(12)n)U_{n+1} - U_n= 2+3(\dfrac{1}{2})^{n+1} - (2+3(\dfrac{1}{2})^n)$
$Un+1−Un=3(12)n+1−3(12)nU_{n+1} - U_n= 3(\dfrac{1}{2})^{n+1} - 3(\dfrac{1}{2})^n$ en factorisant :
$Un+1−Un=3(12)n(12−1)U_{n+1} - U_n= 3(\dfrac{1}{2})^n (\dfrac{1}{2}- 1)$
$Un+1−Un=−3(12)n+1U_{n+1} - U_n= -3(\dfrac{1}{2})^{n+1}$
du déduis $U_{n+1}-U_n$ < 0.
donc suite .....

Re donc suite decroissante

Oui la suite est bien décroissante pour tout n.

Exact mtschoon, j'avais fait une erreur sur $U_0$

Bonjour YB et Noemi,

Il me semble qu'il n'y a pas d'exception :
la suite est décroissante pour tout n de N.

La formule $Un+1−Un=−3(12)n+1U_{n+1} - U_n= -3\biggl(\dfrac{1}{2}\biggl)^{n+1}$ s'applique pour tout tout n de N

Pour n=0, elle donne :
$U1−U0=−3(12)1=−32=−1.5U_{1} - U_0= -3\biggl(\dfrac{1}{2}\biggl)^1=-\dfrac{3}{2}=-1.5$

Vérification :
$U_0=5$ et $U1=1+52=72=3.5U_1=1+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}=3.5$
$3.5 - 5 = - 1.5$

Pour le calcul de la limite je prends aussi $u^n+1-u^n=-3(1/2)^n+1$ ?

Pour le calcul de la limite, tu prends l'expression de $U_n$ en fonction de n.
Tu dois appliquer le fait que $lim⁡x→∞12x=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac {1}{2^x} = 0$ .

Si on prends cette condition et qu'on fait le calcul ca reviendrai a dire que la limite c'est 2

Si on prend $n=2+3(1/2)^n$

YB bonsoir,

Je pense que tu as voulu écrire :

$Un=2+3(12)nU_n=2+3\biggl(\dfrac{1}{2}\biggl)^n$

La limite de la suite est bien 2, lorsque n tend vers $+∞+\infty$

oui tout a fait j'ai un peu de mal a écrire sur ce forum.
Trop vieux

Merci beaucoup pour toute votre aide

Bon courage pour ta reconversion.
Tu peux compter sur le forum si tu as besoin.