Le problème d'AL-KHWARIZMI

Ennoncé du problème par Al-Khwarizmi
"Si on dit : une terre triangulaire, dont les deux flancs ont chacun dix coudées et dont la base a douze coudées, contient dans son verre une terre carrée. Combien valent les flancs du carré?"

Ennoncé du problème en langage d'aujourd'hui
Quelle sera la longueur exacte du côté du carré placé à l'intérieur d'un triangle isocèle de côtés 10, 10, 12 tel que les sommets appartiennent aux côtés du triangle?

Figure
ABC est un triangle isocèle en A tel que:

AB=AC=10
BC=12
PQRS est un rectangle inscrit à l'intérieur du triangle ABC

Première résolution (avec Thalès)
On note c la longueur PS lorsque PQRS est un carré.

Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer AH.

2.Exprimer SH puis BS en fonction de c.

3.Ennoncer la propriété de Thalès dans les triangles ABH et BPS.

4.En déduire une équation que doit vérifier c.

Résoudre cette équation puis donner la réponse au problème d'Al-Khwarizmi.

6.Calculer BP puis faire la figure.

Deuxième résolution (avec des fonctions)
On note maintenant x la longueur BP.

Quelles sont les valeurs que peut prendre x?
Exprimer, à l'aide de la propriété de Thalés dans les triangles ABH et BPS, la longeur PS en fonction de x.
Exprimer, à l'aide de la propriété de Thalés dans les triangles ABC et APQ, la longeur PQ en fonction de x.
On appelle f et g les fonctions définies par f(x)= PS et g(x)= PQ.
A l'aide d'un tablau de valeurs, construire sur un même dessin les représentations graphiques des fonctions f et g.
Comment peut-on alors retrouver la réponse au problème d'Al-Khwarizmi?

Prolongement au problème d'Al-Khwarizmi.
On cherche maintenant les dimensions du rectangle PQRS dont l'aire est la plus grande possible.
Avec les notations de la deuxiéme partie, on appelle A(x) l'aire du rectangle PQRS. Exprimer A(x) en fonction de x.
En faisant varier x de 0,5 en 0,5 dresser un tableau de valeurs de la fonction A, puis construire la représentation graphique de cette fonction.
Déterminer alors graphiquement l'aire maximale de PQRS, la valeur de x correspondant, puis calculer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Je suis à la deuxième résolution avec des fonction et je comprend pas ce que je dois faire.
Merci de m'aider !!

camille23 bonjour,

Un exercice de même type a été traité sur le forum

Tu peux peut-être commencer à le consulter pour te donner des idées.

https://forum.mathforu.com/topic/18127/problème-d-al-khwarizmi

Reposte si besoin.

Bonjour camille23,

Pour la deuxième partie, tu dois déterminer les fonctions f et G;

le point P appartient au segment [AB], donc x compris entre 0 et ....
et 3. Utilise comme dans la première partie la propriété de Thalés.

Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.

@noemi
Bonjour, merci beaucoup de m'aider
Alors voila ce que j'ai trouvé:

x compris entre 0 et 10 car [AB]=10
j'ai trouvé SP= 8x : 10
PQ= 10-x*12:10

je sais pas si c'est bon !

@camille23

C'est correct, mais attention à l'écriture.
Les expressions peuvent être simplifiées.
$\dfrac{8x}{10} = \dfrac{4x}{5}$
$PQ=(10−x)1210PQ=(10-x)\dfrac{12}{10}$ = $65(10−x)\dfrac{6}{5}(10-x)$

@noemi

D'accord, merci beaucoup!
Maintenant je vais essayer de faire la suite de l'exercice.

@camille23

Suis les consignes de l'énoncé, fais un tableau de valeurs et représente les deux droites sur le même graphique.

@noemi
J'ai terminer la deuxième partie,merci pour ton aide!
Maintenant pour le prolongement au problème esque tu peut m'expliquer ce que je doit faire pour exprimer A(x) en fonction de x

@camille23,

L'aire $SP\times QP$
Remplace $S P$ et $Q P$ par leur expression en fonction de $x$ .
Tu obtiens ainsi la fonction aire.
Construis ensuite le tableau de valeurs puis effectue la représentation graphique.
Tu détermines le maximum graphiquement.

@noemi
D'accord, merci