Les nombres complexes(résolution d'équation plus démonstration)
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MMamadou Saliou dernière édition par Mamadou Saliou
Bonsoir ,
J'ai besoin d'aide
Résoudre dans C. L'équation : (z)^n -1=0
En déduire que S= le produit (k=1 à n-1) de (z^2 -2zcos(kπ/n)+1)
C'est la déduction que j'ai pas compris
Merci!!
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Bonjour Mamadoo Saliou,
Il ne manque pas dans l'énoncé une condition sur n ?
Que donne le produit de deux solutions particulières ?
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Mamadou Saliou et Noemi,
@Mamadou-Saliou
Tu ne sembles guère avancer dans ton exercice...Je t'indique quelques idées possibles.
Soit P(z)=z2−2zcoskπn+1P(z)=z^2-2zcos\dfrac{k\pi}{n}+1P(z)=z2−2zcosnkπ+1
P(z) est un polynôme du second degré d'inconnue z
Résous l'équation z2−2zcoskπn+1=0z^2-2zcos\dfrac{k\pi}{n}+1=0z2−2zcosnkπ+1=0 pour obtenir les solutions que j'appelle z1z_1z1 et z2z_2z2
P(z) peut donc se factoriser sous la forme : P(z)=(z−z1)(z−z2)P(z)=(z-z_1)(z-z_2)P(z)=(z−z1)(z−z2)
Ainsi,
S=∏k=1k=n−1(z−z1)(z−z2)=∏k=1k=n−1(z−z1)×∏k=1k=n−1(z−z2)\displaystyle S=\prod _{k=1}^{k=n-1} (z-z_1)(z-z_2)=\prod _{k=1}^{k=n-1} (z-z_1)\times \prod _{k=1}^{k=n-1} (z-z_2)S=k=1∏k=n−1(z−z1)(z−z2)=k=1∏k=n−1(z−z1)×k=1∏k=n−1(z−z2)
En transformant et en reconnaissant les racines nièmes de 1, tu dois pouvoir simplifier S
Tu peux indiquer tes réponses si besoin.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Quelques résultats pour que tu puisses vérifier les tiens.
Après calculs, sauf erreur,
y1=coskπn−isinkπn=cos−kπn+isin−kπn=e−kiπny_1=cos\dfrac{k\pi}{n}-isin\dfrac{k\pi}{n}=cos\dfrac{-k\pi}{n}+isin\dfrac{-k\pi}{n}=e^{\frac{-ki\pi}{n}}y1=cosnkπ−isinnkπ=cosn−kπ+isinn−kπ=en−kiπ
y1=coskπn+isinkπn=ekiπny_1=cos\dfrac{k\pi}{n}+isin\dfrac{k\pi}{n}=e^{\frac{ki\pi}{n}}y1=cosnkπ+isinnkπ=enkiπ
La valeur S finale, après simplification de produits (il y a beaucoup de travail pour cela !) doit être :
S=1−z2n1−z2S=\dfrac{1-z^{2n}}{1-z^2}S=1−z21−z2n
Bon travail.