Intégrale (trigonométrie)

[Un Ancien Utilisateur]

Bonsoir tout le monde, j'ai une petite question; l'intégrale de $1/(cos(x)sin(x+1))$
J'ai essayé beaucoup en changement de variable et l'intégration en parties et aussi la méthode de Weierstrass (aussi changement de variable ) mais sans résultat ! Quelqu'un ici peut m'aider?
Merci d'avance !!!
Et si vous savez d'autres méthodes ou trucs qui peuvent être utiles (comme ALPES ou la méthode de Weierstrass ) Je serai reconnaissant!!

[mtschoon]

EL Bonjour,

Une piste possible, parmi d'autres.

Avec les formules d'addition, tu peux prouver que

$\boxed{sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b]}$

Tu poses a=x+1 et b=x et tu transformes.

Ainsi , en appelant I l'intégrale, tu dois trouver, sauf erreur

$\boxed{I=2\int \frac{1}{sin(2x+1)+sin1}dx}$

Cherche un changement de variable judicieux à partir de cette expression.

Tu peux, par exemple, poser

$t=tan\frac{2x+1}{2}=tan(x+\frac{1}{2})$

Essaie de poursuivre.

[mtschoon]

@EL , bonjour,

Peut-être es-tu arrivé à terminer ton exercice .
A toute fin utile, comme tu le souhaitais, je te donne le principe de la substitution de Weierstrass.

$t=tan(x+\frac{1}{2})$

Formule usuelle pour la transformation du sinus : $\fbox{sint=\dfrac{2t}{1+t^2}}$
Après calcul, $dx=\frac{1}{1+t^2}dt$

En substituant dans l'intégrale I , tu dois trouver une intégrale de la forme
$\fbox{\displaystyle\int\dfrac{1}{at^2+bt+c}dt}$

Regarde ton cours.

Si le propriété est donnée, c'est immédiat, tu l'appliques directement
$\Delta$ étant le discriminant de $a{t}^2+bt+c$
Pour $\Delta >0$ , cette intégrale vaut
$\fbox{\dfrac {ln\biggl|\dfrac{2at+b-\sqrt \Delta}{2at+b+\sqrt\Delta}\biggl|}{\sqrt\Delta}}$

Sinon, tu fais le calcul

[Black-Jack]

Bonjour,

1/(cos(x).sin(x+1)) dx = cos(x)/(cos²(x).sin(x+1)) dx

Poser sin(1+x)/cos(x) = t

(cos(1+x).cos(x)+sin(x).sin(1+x))/cos²(x) dx = dt

cos(x-x-1)/cos²(x) dx = dt
cos(1)/cos²(x) dx = dt

dx/cos²(x) = dt/cos(1)

---

cos(x)/(cos²(x).sin(x+1)) dx = cos(x)/sin(x+1) * dx/cos²(x)

= (1/cos(1)) * dt/t

Qui est immédiat à intégrer ...

[Un Ancien Utilisateur]

Bonjour @mtschoon et @Black-Jack
J'ai trouvé comme solution :
Ln (|sin(1)+cos(1)tan(x)|)/cos(1)

[Black-Jack]

Bonjour,

C'est juste, ma solution était : [ln|sin(1+x)/cos(x)|]/cos(1)

Mais c'est équivalent à ta réponse.