Fonction définie par intégrale



  • Bonsoir tout le monde
    J'ai une question concernant le domaine de définition d'une fonction définie par intégrale
    Ma fonction est :
    accolades.jpg

    Je dois prouver que cette fonction est définie sur IR mais je me bloque dès le début car 1/(te^t) n'est pas défini en 0 .
    Merci d'avance pour votre aide et soutien!!


  • Modérateurs

    EL bonsoir,

    Il y a deux cas qui définissent f

    Pour x≠0x\ne 0x=0 , f(x) est l'intégrale sur l'intervalle [x,3x] qui ne contient pas la valeur 0, dont t ne prend pas la valeur 0 sur cet intervalle.

    En détaillant l'explication :
    Pour x>0, nécessairement 3x>0.
    Sur l'intervalle [x,3x], t >0 donc t ne s'annule pas
    Pour x<0, nécessairement 3x<0.
    Sur l'intervalle [x,3x], t <0 donc t ne s'annule pas

    f est donc bien définie pour x≠0x\ne 0x=0

    Pour x=0x=0x=0, par la définition donnée qui n'a rien à voir avec l'intégrale, l'énoncé pose arbitrairement f(0)=ln3
    f est ainsi bien définie pour x=0

    Conclusion :
    avec l'union des des deux cas : f est définie sur R.



  • @mtschoon
    Mais la fonction 1/(te^t) n'est pas continue sur R* , voilà mon problème

    Screenshot_2019-02-13-18-19-47-1.png


  • Modérateurs

    @EL
    Tout à fait d'accord sur le graphique de t ->1/(te^t)
    Cette fonction est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[ et sur ]−∞,0[]-\infty,0[],0[
    Sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[ et sur ]−∞,0[]-\infty,0[],0[ , la fonction f est définie comme intégrale de bornes x et 3x
    Pour 0, l'énoncé te dit que f(0)=ln3 (ce qui n'a rien à voir avec l'intégrale)

    Donc f est définie sur ]−∞,0[∪ ]-\infty,0[ \cup \ ],0[  {0} ∪]0,+∞[=R\cup ]0,+\infty[ = R]0,+[=R


  • Modérateurs

    On ne demande pas que f(x) soit continue en 0, mais juste qu'elle soit définie et c'est ce cas dès que l'énoncé précise que f(0) = ln(3)

    Néanmoins on peut quand même montrer que f est continue en 0, ainsi par exemple :

    Ce n'est pas 1/(t.e^t) qui doit être continue mais bien S(de x*3x) dt/(t.e^t)

    Le seul problème potentiel est aux alentours de 0.

    développement de e^t près de 0 : 1 + t + t²/2 + ...

    et donc près de 0, on a t * e^t = t + t² + t³/2 + ...

    et donc aux alentours de 0, on a : t.e^t = t + 0(t²)

    et donc pour x aux alentours de 0, S(de x*3x) dt/(t.e^t) presque égal à S(de x à 3x) 1/t dt = [ln|t|](de x à 3x) = ln|3x|-ln|x| = ln|3x/x| = ln(3)

    Donc lim x--> 0 de S(de x*3x) dt/(t.e^t) = ln(3)

    On peut donc prolonger f(x) en 0 par f(0) = ln(3)



  • Merci beaucoup @mtschoon et @Black-Jack vous m'avez beaucoup aidé à comprendre 🌸🌸


  • Modérateurs

    @EL

    C'est parfait El si maintenant c'est clair pour toi.☺
    Je suppose qu'il s'agit seulement de la première question de l'exercice.
    Peut-être que la suite ne te posera pas de difficultés, sinon reposte .
    Bon travail !



  • @mtschoon oui le reste était clair et un peu facile ... vous avez raison!


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