Calcul délimité et déduction de limite

Bonjour

montrer que $lim⁡x→1xp−1x−1=p\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{ x^p-1}{x-1}=p$
déduire

$lim⁡x→1x+x2+...+xn−nx−1=n(n+1)2\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$

(Formules reécrites en Latex par la modération)

Bonjour hafud,

Tu as encore oublié la marque de politesse !!

On suppose que $p$ est un entier > 0. Utilise le fait que $x^p-1 = (x-1)(x^{p-1}+x^{p-2} +.... + x + 1)$

@Noemi a dit dans Calcul délimité e déduction de limite :

Bonjour hafud,

Tu as encore oublié la marque de politesse !!

On suppose que $p$ est un entier > 0. Utilise le fait que $x^p-1 = (x-1)(x^{p-1}+x^{p-2} +.... + x + 1)$

Oui excuse moi puis on va faire quoi

Après tu calcules la limite pour $x$ qui tend vers 1.

@Noemi pouvez me faire comment la méthode

@hafud

L'objectif de ce site est de donner des pistes, de corriger les erreurs et non de faire les exercices.

Si tu simplifies par $x - 1$ ; Il reste à calculer la limite de :
$x^{p-1}+x^{p-2} +.... + x + 1)$ quand $x$ tend vers 1;
Cherche le nombre de termes dans la parenthèse.

@Noemi $p - 1 + 1$ ??

Oui
Comme chaque terme est égal à 1 et que
$p - 1 + 1 = p$ alors la limite est .....

@Noemi p

Oui c'est la réponse attendue.

@Noemi oui merci et pour la deuxième question

Pour la question 2, vérifie la limite proposée.

@Noemi c'est comme j'ai écrit

@hafud
C'est un exercice du livre ou donné sur feuille par l'enseignant ?

@Noemi sur feuille

@hafud,
Tu écris la relation sous la forme :
$(x−1)+(x2−1)+(x3−1)+.....+(xn−1)x−1\dfrac{(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + ..... + (x^n-1)}{x-1}$ puis tu analyses en utilisant la relation de départ à quoi sont égaux chaque termes.

@Noemi je ne sais pas comment

@hafud,
D'après la relation de la première question, chaque terme est égal à l'exposant de $x$ donc
cela donne $1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + n$ et tu dois savoir que cette somme est égale à :
$n(n+1)2\dfrac {n(n+1)}{2}$ .

@Noemi merci

@hafud,

As tu tout compris ?

@Noemi oui Mrci beaucoup

Ok, c'est bien.