Exercice dérivabilité 2 à corriger

Bonjour aidez moi svp a cette exercice
1)montrer que si $f$ est dérivable en point $a$ donc $l i m f (x) = f (a)$ x->a
2) calculer $lim(x^2f(x)-a^2f(a))/(x-a)$ en $a$
et $l i m (a f (x) - x f (a)) / (x - a)$ en $a$
3) supposant $f(a)>0f(a)\gt 0$ , montrer que la fonction $F(x)=f(x)F(x)=\sqrt{f(x)}$ est dérivable en point $a$ et déterminer le nombre dérivé.

Bonjour hafud,

La première question est une question de cours.
Tu suis des cours par correspondance ou tu es au lycée ?

Un lien vers un cours : https://www.math.univ-toulouse.fr/~jgillibe/enseignement/MHT204_chap3.pdf

@Noemi puis

@hafud

Tu as résolus quelle(s) question(s) ?

Bonjourhafud et bonjour Noemi,

@hafud,

Merci d'indiquer, comme te le demande Noemi, les questions que tu as résolues.
Tu mets en titre "à corriger", mais en fait il n'y à rien à corriger car tu ne proposes aucune solution...
Ici, tu es sur un forum d'aide.
On doit aider à faire les exercices, mais on ne doit pas les faire .

Pour avancer un peu, je regarde la 2)

Une possibilité : changement de variable x=a+h , ainsi h tend vers 0
J'appelle $Δ\Delta$ l'expression
$Δ=x2f(x)−a2f(a)x−a=(a+h)2f(a+h)−a2f(a)h\Delta=\dfrac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x-a}=\dfrac{(a+h)^2f(a+h)-a^2f(a)}{h}$

En développant $a+h)^2$ , en décomposant judicieusement et en simplifiant par h où cela est possible , tu dois obtenir, sauf erreur
$Δ=a2f(a+h)−f(a)h+2af(a+h)+hf(a+h)\Delta=a^2\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}+2af(a+h)+hf(a+h)$

En supposant que f est dérivable, donc continue, tu peux déduire que la limite de $Δ\Delta$ , lorsque h tend vers 0, est $a^2f'(a)+2af(a)$

Tu dois faire cette question avec soin car je n'ai pas détaillé.

Bon travail.

@mtschoon merci mais c'est ça le problème je ne sais pas comment il faut commencer ou la méthode donc je cherche seulement la méthode et je comprends comment il faut répondre

@mtschoon ici comment En supposant que f est dérivable, donc continue, tu peux déduire que la limite de \DeltaΔ, lorsque h tend vers 0, est a^2f'(a)+2af(a)a 2 f '(a)+2af(a)

@hafud

Je t'ai déjà bien commencé le calcul !

En transformant comme je te l'ai indiqué

$Δ=a2f(a+h)−f(a)h+(2a+h)f(a+h)\Delta=a^2\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}+(2a+h)f(a+h)$

Regarde ton cours sur définition de dérivabilité en a et continuité en a pour tirer la conclusion :

Lorsque h tend vers 0
$f′(a)\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\ tend\ vers \ f'(a)$
$\ tend\ 2a$
$f(a)f(a+h)\ tend \ vers\ f(a)$
d'où la réponse.

@mtschoon et pour les autres questions

Si tu parles de $lim⁡x→aaf(x)−xf(a)x−a\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{af(x)-xf(a)}{x-a}$ tu as plusieurs façons possibles.

Tu peux faire un changement de variable, comme précédemment.

Tu peux utiliser, par exemple, la méthode que je viens de t'indiquer dans un autre topic
$a f (x) - x f (a) = a f (x) - a f (a) + a f (a) - x f (a)$

Tu factorises.