limite d'une suite Un=f(n)

[kadforu]

Bonjour
n entier positif
Calculer la limite de Un=n/(2^n)

Pour n infini on a une forme indéterminée.
Je peux conjecturer que lim Un=0 mais je n'arrive pas à démarrer !
Merci pour des réponses.

[Noemi]

Bonjour kadforu,

La conjecture est correcte.
Une piste : Démontre que pour $n\ge 4$ ; $2^n\ge n^2$.

[kadforu]

Bonjour Noemi et mercie pour la réponse.

Pour démontrer 2^n >= n² j'ai commencé à le faire par récurrence:
Pn: 2^n >= n²
2^4>= 4² vrai
Supposons Pn vraie au rang n fixé:
2*2^n >= 2n²
2^(n+1) >= 2n²
mais je n'arrive pas à: 2^(n+1) >= 2(n+1)²

Alors j'ai étudié la fonction: f(x)=2^x - 2x²
f est strictement croissante sur [4; +oo [ et f(4)=0
donc 2^n >= n².
Mais je ne vois pas comment calculer la limite de la suite en utilisant ce résultat ?

[kadforu]

Oui j'ai pas fait attention pour la récurrence
2^(n+1) >= 2n²>= (n+1)²

[Noemi]

@kadforu

Oui il faut montrer que $2n^2\ge (n+1{)}^2$.
Pour la limite cherche un encadrement de $U_n$.

[kadforu]

2^n >= n².
0<=1/(2^n)<=1/n²
lim 1/n² =0
On déduit que lim Un=0
Est ce correct ?

[Noemi]

@kadforu

Tu as oublié de multiplier par $n$ pour obtenir $U_n=\frac{n}{2^n}$.

[kadforu]

0<=1/(2^n)<=1/n²
0<=n/(2^n)<=1/n
lim 1/n =0
donc lim Un=0

Je me suis demandé pourquoi démontrer 2^n >= n² et non 2^n >= n par exemple, maintenant j'ai compris.

[Noemi]

@kadforu

C'est correct.