Exercice Arithmétique en Z

déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{360}$ par $7$
2)si $a≡17[19]a\equiv17[19]$ et $b≡15[19]b\equiv15[19]$ déterminer le reste de la division euclidienne des nombres suivantes
$a+b;ab;2a-5b;a^2b^3;a^2+b^2$ par $19$
3)quel est le reste de la division euclidienne de $50^{100}$ par $7$ même chose pour $100^{100}$ et $5^{100}+100^{100}$
4)1- vérifier que $24≡−1[17]2^4\equiv-1[17]$ et $62≡2[17]6^2\equiv2[17]$
2-quel est le reste de la division euclidienne par $17$ de $1532^{20}$ et $346^{12}$
montrer que quelque soit n de N $11$ divise $5^{2n})-(14^n)$

"Ecriture Katex modifiée par la modération"

Bonjour hafud, Marque de politesse à ne pas oublier !!

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Quels sont les restes de la division euclidienne de $2^n$ par 7 ?

@Noemi 2^n

@hafud

Fais le calcul pour différentes valeurs de n
si n = 0 ; le reste est 1
si n = 1; le reste est 2
Si n = 2; ...
.....

@Noemi est 4

@hafud

Continue avec
n = 3
n = 4

puis détermine une relation

@Noemi c'est un cycle de 3

@hafud

Oui,
Donc tu écris le reste de :
$2^{3k}$ =
$2^{3k+1}$ =
$2^{3k+2}$ =
puis tu cherches à quelle puissance correspond 360

@Noemi comment

@hafud

Complète mon dernier post par les restes respectifs.

@Noemi je sais pas comment faire

@hafud

tu as du trouvé pour les restes de la division par 7
$2^0$ a pour reste 1
$2^1$ a pour reste 2
$2^2$ a pour reste 4
$2^3$ a pour reste 1
.....
donc
$2^{3k}$ a pour reste 1
$2^{3k+1}$ a pour reste 2
$2^{3k+2}$ a pour reste 4

$\times.... + .....$
Donc le reste de
$2^{360}$ est .....

@Noemi 2^3k+180

@hafud
Je demande juste la division de 360 par 3.

@Noemi 120

@hafud

Soit $3\times 120$
Donc $2^{360}$ de la forme $2^{3k}$ donc le reste de la division euclidienne de $2^{360}$ par 7 est .....

@Noemi 0

@hafud

Non,

Les restes possibles sont 1; 2 et 4
J'ai indiqué précédemment que le reste de la division euclidienne de $2^{3k}$ est 1.

@Noemi donc 1

@hafud

oui.

Pour la question 2
$a$ peut s'écrire : $a = 19 k + 17$ avec $k$ entier naturel
$b$ peut s'écrire : $b = 19 k + 15$ avec $k^{'}$ entier naturel
donc $a + b = 19 (k + k^{'}) + 17 + 15$
= $19 (k + k^{'} + 1) + 13$
donc le reste de la division euclidienne de $a + b$ par 19 est 13.

Applique le même raisonnement pour les autres cas.
Indique le détail de la résolution.

@Noemi pour la deuxième

@hafud

J'ai réalisé le premier calcul dans mon précédent post.
Suis cet exemple et indique ton travail.

@Noemi mais comment vous avez trouvez 19(k+l'+1)+13

@hafud

$a + b = 19 (k + k^{'}) + 17 + 15$
$a + b = 19 (k + k^{'}) + 17 + 2 + 13$
$a + b = 19 (k + k^{'}) + 19 + 13$ on factorise
$a + b = 19 (k + k^{'} + 1) + 13$

@Noemi pour ab j'arrive pas à trouvé
(19k+17).(19k'+17)= $19(k+k')+19k.17+17.19k'+17^2$
Est ce qu'on va factoriser ou Quoi

@hafud

$a b = (19 k + 17) (19 k^{'} + 15)$ à développer :
$19^2\times k\times k'+ 19k\times 15 + 17\times 19k' + 17 \times 15$ tu mets 19 en facteur
$a b = 19 (. . . . .) + . . . . .$

@Noemi 19(19.k.k')+k.15+17.k'+17+15

@hafud

La deuxième parenthèse est mal placé et un + à la fin au lieu d'un x !!

$19^2\times k\times k'+ 19k\times 15 + 17\times 19k' + 17 \times 15$ tu mets 19 en facteur
$19(19\times k\times k'+ k\times 15 + 17\times k') + 255$ or $19\times 13 + 8$
$19(19\times k\times k'+ k\times 15 + 17\times k') + 19\times 13 + 8$
$a b = 19 (. . . . . .) + . . . .$

@Noemi $19(19\times k\times k'+ k\times 15 + 17\times k'+13) +8$

@hafud

Oui, donc le reste est ....

@Noemi 17 l'autre question

@hafud

Le reste est 8.

Applique le même raisonnement. Indique tes calculs.
$2 a = . . . .$
$5 b = . . . .$
$2 a - 5 b = . . . .$

@Noemi pourquoi 8

@hafud

Si : $19(19\times k\times k'+ k\times 15 + 17\times k'+13) +8$
que l'on peut écrire :
$a b = 19 h + 8$
donc le reste de la division euclidienne par 9 est 8 !

@Noemi oui pour les autres questions j'avais trouvé la réponse