Convergence d'une suite (somme de Riemann)


  • S

    Bonsoir tout le monde!
    J'ai trouvé un problème pour résoudre cette question
    Prouver que la suite (Un) est convergente en indiquant sa limite ;
    IMG-20190307-WA0003-1-1~2.jpg
    J'ai essayé de résoudre ce problème avec la somme de Riemann et j'ai trouvé cette intégral
    (Intégrale de 0 à 1 de ex/2(2x−4){e^{x/2}(2x-4)}ex/2(2x4) )après calculer j'ai trouvé −12e1/2-12e^{1/2}12e1/2 mais je ne suis pas sûre de cette réponse, merci de me corriger!


  • mtschoon

    @sui bonjour,
    La somme de Riemann me semble tout à fait adaptée

    b−an∑k=1k=nf(a+kb−an)\displaystyle \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{k=n}f(a+k\dfrac{b-a}{n})nbak=1k=nf(a+knba) converge vers ∫abf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) dxabf(x)dx lorque n tend vers +∞+\infty+, avec la condition d'intégrabilité de f réalisée sur [a,b]

    Pour transformer UnU_nUn je commencerais par diviser (k−2n)(k-2n)(k2n) par nnn en mettant ainsi nnn en facteur

    Un=2n∑k=1n\displaystyle U_n=\dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^nUn=n2k=1n(kn−2)ek/n(\dfrac{k}{n}-2)\sqrt{e^{k/n}}(nk2)ek/n
    Un=2[1n∑k=1n(kn−2)ek/n]\displaystyle U_n=2\biggl[\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\dfrac{k}{n}-2)\sqrt{e^{k/n}}\biggl]Un=2[n1k=1n(nk2)ek/n]

    Sauf erreur, tu peux prendre f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)\sqrt{e^x}f(x)=(x2)ex , a=0a=0a=0, b−a=1b-a=1ba=1 d'où b=1b=1b=1

    Vérifie mes transformations et continue.


  • S

    Merci @mtschoon ! c'est la même chose que j'ai fais, sauf que j'ai pris a=0 et b=1
    Je n'ai pas compris pourquoi vous avez choisi ces valeurs pour a et b ?


  • mtschoon

    Tu as tout à fait raison a=0 et b=1, vu que la quantité entre crochets vaut

    1n∑k=1nf(kn)\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\dfrac{k}{n})n1k=1nf(nk)

    La limite de la suite est donc 2∫01(x−2)exdx2\int_0^1(x-2)\sqrt{e^x}dx201(x2)exdx ou comme tu l'as écrit ∫01(2x−4)exdx\int_0^1(2x-4)\sqrt {e^x}dx01(2x4)exdx

    Sauf erreur,une primitive doit valoir (4x−16)ex(4x-16)\sqrt{e^x}(4x16)ex

    Entre les bornes 0 et 1, tu dois obtenir −12e+16-12\sqrt{e}+1612e+16

    Peut-être que tu as fait tout simplement une erreur dans les calculs aux bornes.

    Vérifie.


  • S

    @mtschoon oui l'intégral est correcte j'ai fait une petite bêtise au calcul! 😅
    Merciiii


  • mtschoon

    C'est très bien d'avoir rectifié ta petite erreur. Bon travail !