excercice sur les suites

j'ai un exercice que je ne parviens pas a comprendre : on découpe un triangle d'aire égale a 60 cm² en 6 triangles de m^me aire dont on en colorie 3. Pour tout entier naturel n on note Un l'aire de la partie colorée à l'étape n. On a U0 =0 1

calculer U1 et vérifié que U2 =45 . la suite est elle géométrique ? ( ca j'ai résussi )
bonus : démontrer que pour tout entier naturel n , Un+1 : 1/2 Un +30
Soit Vn = Un-60
Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
4 )En déduire que pour tout entier naturel n , Un =60-60*(1/2)Puissance n
5)Determiner la plus petite étape où l'aire de la partie calorée est supérieur à 59.4 . indiquer la méthode.
merci de m'aider a avancer sur cet exercice

@romain-rousseau , bonjour,
Ici, on dit "bonjour" ou "bonsoir" lorsqu'on arrive sur le forum.
C'est la première fois que tu viens alors tu ne le savais peut-être pas, mais pense-y une autre fois. Ce n'est pas une option !

Tu as écris U0=0 1
Au départ, rien n'est coloré donc j'aurais écrit $U_0=0$

Tu as fait la 1) , donc tu as dû prouvé que $U_n$ ) n'est pas géométrique.

Pour la 2), tu fais un raisonnement par récurrence si tu connais.

Initialisation :
Pour n=0, tu vérifies que $U1=30+12U0U_1=30+\dfrac{1}{2}U_0$
Cela est vari vu que $U_0=0$ et $U_1=30$

Transmission
Tu supposes qu'à un ordre n ( $\ge 0$ ) $Un+1=30+12UnU_{n+1}=30+\dfrac{1}{2}U_n$
Avec cette hypothèse, tu dois prouver que : $Un+2=30+12Un+1U_{n+2}=30+\dfrac{1}{2}U_{n+1}$

Piste pour la démonstration
Lorsque $U_{n+1}$ est effectuée, la partie non colorée est $60-U_{n+1}$
Donc $U_{n+2}$ est égale à $U_{n+1}$ +la moitié de la partie non colorée, c'est à dire :
$Un+2=Un+1+12(60−Un+1)U_{n+2}=U_{n+1}+\dfrac{1}{2}(60-U_{n+1})$
Simplifie cette expression et tu trouveras l'expression souhaitée.

Essaie de poursuivre.

merci . desole pour le bonjour oublié j'ai résussi a simplifié et j'ai bien trouvé
Un+2=30+1/2 Un+1
je reprends mon cours pour voir le système de recurrence et j'essaie de poursuivre

pouvez vous m aidez encore pour la suite ? pour demontrer que Vn est géométrique de raison 1/2 ?

Si le raisonnement par récurrence n'est pas dans ton cours, ici tu peux faire le raisonnement direct.
J'ai formulé sous forme récurrente mais ce n'est pas une nécessité.

Piste pour la 3)

$Vn+1=Un+1−60=12Un+30−60=12Un−30V_{n+1}=U_{n+1}-60=\dfrac{1}{2}U_n+30-60=\dfrac{1}{2}U_n-30$

Il te reste à remplacer $U_n$ par $V_n+60$ dans l'expression qui vient d'être trouvée et tu obtiendras $Vn+1=12VnV_{n+1}=\dfrac{1}{2}V_n$

Un complément.

Je pense que tu n'auras pas de difficultés pour terminer

$Vn=V0(12)nV_n=V_0\biggr(\dfrac{1}{2}\biggr)^n$ en calculant $V_0$ tu dois trouver $Vn=60(12)nV_n=60\biggr(\dfrac{1}{2}\biggr)^n$

Vu que $U_n=V_n+60$ , tu peux trouver l'expression de $U_n$ en fonction de n

Il te reste ensuite à trouver la plus ptite valeur de n telle que $Un≥59.4U_n\ge 59.4$
En simplifiant et transformant cette inégalité, tu dois obtenir $(12)n≤0.01\biggr(\dfrac{1}{2}\biggr)^n\le 0.01$

Comme en 1S tu n'as pas dû voir les logarithmes, tu termines à la calculette.
(Sauf erreur la plus petite valeur de n satisfaisante doit être 7)

Bon travail.