DM : Équations différentielles


  • TheoRiz 20

    Bonjour,
    Je bloque sur un exercice dans mon DM et j'aimerai avoir de l'aide si cela est possible car je comprends absolument rien.
    L'exercice est :

    1. Déterminer la solution fff de l'équation différentielle y′′+2y=0y''+2y=0y+2y=0 telle que la droite d'équation y=2x+1y=2x+1y=2x+1 est tangente à la courbe représentative de la fonction fff au point d'abscisse 000.

    2.a) Déterminer la solution fff de l'équation diffenrentielle 9y′′+16y=09y''+16y =09y+16y=0 vérifiant f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3} f(4π)=3 et f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0f(2π)=0.

    2.b) Vérifier que pour tout réel xxx, f(x)=2cos(43x−π6)f(x)=2cos(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6})f(x)=2cos(34x6π).

    Merci d'avance de votre aide ! Bonne journée.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour TheoRiz-20,

    As tu trouvé la forme générale de la solution de l'équation y′′+2y=0y''+ 2y = 0y+2y=0 ?
    Equation caractéristique : r2+2=0r^2 + 2 = 0r2+2=0 ; r=.....r = .....r=.....
    Soit y=.....y = .....y=.....


  • TheoRiz 20

    Avec l'aide de mon cours je trouve ceci :
    y′′+2y=0y''+2y=0y+2y=0
    La formule : y''+w² y = 0
    Ce qui donne : w=2w=\sqrt{2}w=2 ou w=−2w=-\sqrt{2}w=2
    On prends le www supérieure à 000
    Ce qui donne finalement f(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)f(x)= A cos(\sqrt{2} x) + B sin(\sqrt{2} x)f(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)
    Je ne sais pas si c'est cela que vous me demandez


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    Oui c'est cela que je demande.
    Il reste à déterminer la valeur de A et B, deux inconnues donc deux éléments à prendre en compte à partir de l'énoncé.
    A partir de l'équation de la tangente au point d'abscisse 0,
    La courbe passe par le point M(0; .....)
    et le nombre dérivé est f'(0) = .....


  • TheoRiz 20

    @Noemi Donc pour trouver f′(0)f'(0)f(0) je dois dériver fff et est ce que je dois prendre en compte AAA et BBB dans ma dérivée ou ils sont égales a 000 ?


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    Les valeurs manquantes ..... sont à déterminer à partir de l'équation de la tangente.
    Le calcul de f′(x)f'(x)f(x) se fait à partir de l'expression de f(x)f(x)f(x) avec AAA et BBB des constantes.


  • TheoRiz 20

    @Noemi désolé je suis sur mobile.
    La dérivée donne bien :
    -√2 sin(√2 x) + √2 cos ( √2 x) ?


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    Il manque les constantes
    f′(x)=−2Asin(2x)+2Bcos(2x)f'(x) = -\sqrt2 Asin(\sqrt2 x) + \sqrt2 Bcos ( \sqrt2 x)f(x)=2Asin(2x)+2Bcos(2x) ?


  • TheoRiz 20

    @Noemi D'accord je commence un peu a comprendre.
    Donc ensuite je remplace x par 0 ce qui donne f'(0)=√2
    Et ensuite je ne sais pas comment continuer


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    Dans ton calcul il manque la constante !

    Tout d'abord, il faut calculer à partir de l'équation de la tangente :
    f(0)f(0)f(0) qui donne f(0)=1f(0) = 1f(0)=1 puis
    f′(0)f'(0)f(0) qui donne f′(0)=2f'(0) = 2f(0)=2 le coefficient directeur de la tangente.
    A partir de l'écriture de f(x)f(x)f(x)
    tu écris f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=Af(0) = A cos(0) + B sin(0) = Af(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A puis tu déduis A=....A = ....A=.... sachant que f(0)=1f(0) = 1f(0)=1
    A partir de l'écriture de f′(x)f'(x)f(x)
    tu écris f′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=....f'(0) = -\sqrt2A sin(0) + \sqrt2 B cos (0)= ....f(0)=2Asin(0)+2Bcos(0)=.... et tu déduis B=.....B = .....B=.....
    sachant que f′(0)=2f'(0) = 2f(0)=2.
    Complète les .....

    Puis tu conclus sur l'écriture de la solution.

    Applique la même démarche pour la question 2)
    Indique tes calculs si tu souhaites une correction.


  • TheoRiz 20

    @Noemi Pouvez-vous m’éclairer pour déduire AAA car dans mon cours cela est mal indiquer donc je n'arrive pas a comprendre la démarcher ?


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=Af(0) = A cos(0) + Bsin(0) = A f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A
    or f(0)=1f(0) = 1f(0)=1
    donc A=1A = 1A=1
    f′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=2Bf'(0) = -\sqrt2A sin(0) + \sqrt2Bcos(0) = \sqrt2 Bf(0)=2Asin(0)+2Bcos(0)=2B
    or f′(0)=2f'(0) = 2f(0)=2
    donc 2B=2\sqrt2B = 22B=2 soit B=2B = \sqrt2B=2

    conclusion :
    f(x)=cos(2x)+2sin(2x)f(x) = cos(\sqrt2x) + \sqrt2 sin(\sqrt2x)f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

    Indique les parties que tu ne comprends pas.

    Applique le même raisonnement pour la question 2.


  • TheoRiz 20

    @Noemi Pour la question 2.a) j'ai fais ceci :
    9y′′+16y=09y''+16y = 09y+16y=0
    y′′+169y=0y''+\dfrac{16}{9} y = 0y+916y=0
    w=169w = \sqrt{\dfrac{16}{9}} w=916

    w=43w = \dfrac{4}{3}w=34
    f(x)=Acos(43x)+Bsin(43x)f(x)= A cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )f(x)=Acos(34x)+Bsin(34x)
    Est ce que c'est bon pour cette partie ?
    Pour trouver AAA j'ai fais f(π4)f(\dfrac{\pi}{4})f(4π) ce qui donne f(π4)=1+32f(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}f(4π)=21+3.
    Et après pour avoir AAA je bloque car dans l'énoncé f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3}f(4π)=3.


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    C'est correct,

    Pour déterminer A et B, tu écris un système de 2 équations à 2 inconnues à partir des deux valeurs données pour la fonction.


  • TheoRiz 20

    @Noemi Désole je viens de modifier mon message précédent


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    Tu oublies AAA et BBB.
    f(x)=Acos(43x)+Bsin(43x)f(x)= A cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )f(x)=Acos(34x)+Bsin(34x)

    f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )f(4π)=Acos(3π)+Bsin(3π)

    f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} f(4π)=2A+2B3

    or f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4})= \sqrt3 f(4π)=3 donc

    A2+B32=3\dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} = \sqrt32A+2B3=3

    première équation que tu peux simplifier.

    Applique le même raisonnement pour :
    f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0f(2π)=0


  • TheoRiz 20

    @Noemi je n'ai pas compris la troisième ligne du calcul. Serait t'il possible de me l'expliquer ?


  • N
    Modérateurs

    @TheoRiz-20

    f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )f(4π)=Acos(3π)+Bsin(3π)

    f(π4)=A×12+B×32f(\dfrac{\pi}{4})= A \times \dfrac{1}{2} + B \times\dfrac{\sqrt{3}}{2} f(4π)=A×21+B×23

    f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} f(4π)=2A+2B3


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