DM : Équations différentielles
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Bonjour,
Je bloque sur un exercice dans mon DM et j'aimerai avoir de l'aide si cela est possible car je comprends absolument rien.
L'exercice est :- Déterminer la solution fff de l'équation différentielle y′′+2y=0y''+2y=0y′′+2y=0 telle que la droite d'équation y=2x+1y=2x+1y=2x+1 est tangente à la courbe représentative de la fonction fff au point d'abscisse 000.
2.a) Déterminer la solution fff de l'équation diffenrentielle 9y′′+16y=09y''+16y =09y′′+16y=0 vérifiant f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3} f(4π)=3 et f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0f(2π)=0.
2.b) Vérifier que pour tout réel xxx, f(x)=2cos(43x−π6)f(x)=2cos(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6})f(x)=2cos(34x−6π).
Merci d'avance de votre aide ! Bonne journée.
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Bonjour TheoRiz-20,
As tu trouvé la forme générale de la solution de l'équation y′′+2y=0y''+ 2y = 0y′′+2y=0 ?
Equation caractéristique : r2+2=0r^2 + 2 = 0r2+2=0 ; r=.....r = .....r=.....
Soit y=.....y = .....y=.....
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Avec l'aide de mon cours je trouve ceci :
y′′+2y=0y''+2y=0y′′+2y=0
La formule : y''+w² y = 0
Ce qui donne : w=2w=\sqrt{2}w=2 ou w=−2w=-\sqrt{2}w=−2
On prends le www supérieure à 000
Ce qui donne finalement f(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)f(x)= A cos(\sqrt{2} x) + B sin(\sqrt{2} x)f(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)
Je ne sais pas si c'est cela que vous me demandez
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Oui c'est cela que je demande.
Il reste à déterminer la valeur de A et B, deux inconnues donc deux éléments à prendre en compte à partir de l'énoncé.
A partir de l'équation de la tangente au point d'abscisse 0,
La courbe passe par le point M(0; .....)
et le nombre dérivé est f'(0) = .....
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@Noemi Donc pour trouver f′(0)f'(0)f′(0) je dois dériver fff et est ce que je dois prendre en compte AAA et BBB dans ma dérivée ou ils sont égales a 000 ?
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Les valeurs manquantes ..... sont à déterminer à partir de l'équation de la tangente.
Le calcul de f′(x)f'(x)f′(x) se fait à partir de l'expression de f(x)f(x)f(x) avec AAA et BBB des constantes.
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@Noemi désolé je suis sur mobile.
La dérivée donne bien :
-√2 sin(√2 x) + √2 cos ( √2 x) ?
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Il manque les constantes
f′(x)=−2Asin(2x)+2Bcos(2x)f'(x) = -\sqrt2 Asin(\sqrt2 x) + \sqrt2 Bcos ( \sqrt2 x)f′(x)=−2Asin(2x)+2Bcos(2x) ?
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@Noemi D'accord je commence un peu a comprendre.
Donc ensuite je remplace x par 0 ce qui donne f'(0)=√2
Et ensuite je ne sais pas comment continuer
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Dans ton calcul il manque la constante !
Tout d'abord, il faut calculer à partir de l'équation de la tangente :
f(0)f(0)f(0) qui donne f(0)=1f(0) = 1f(0)=1 puis
f′(0)f'(0)f′(0) qui donne f′(0)=2f'(0) = 2f′(0)=2 le coefficient directeur de la tangente.
A partir de l'écriture de f(x)f(x)f(x)
tu écris f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=Af(0) = A cos(0) + B sin(0) = Af(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A puis tu déduis A=....A = ....A=.... sachant que f(0)=1f(0) = 1f(0)=1
A partir de l'écriture de f′(x)f'(x)f′(x)
tu écris f′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=....f'(0) = -\sqrt2A sin(0) + \sqrt2 B cos (0)= ....f′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=.... et tu déduis B=.....B = .....B=.....
sachant que f′(0)=2f'(0) = 2f′(0)=2.
Complète les .....Puis tu conclus sur l'écriture de la solution.
Applique la même démarche pour la question 2)
Indique tes calculs si tu souhaites une correction.
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@Noemi Pouvez-vous m’éclairer pour déduire AAA car dans mon cours cela est mal indiquer donc je n'arrive pas a comprendre la démarcher ?
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f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=Af(0) = A cos(0) + Bsin(0) = A f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A
or f(0)=1f(0) = 1f(0)=1
donc A=1A = 1A=1
f′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=2Bf'(0) = -\sqrt2A sin(0) + \sqrt2Bcos(0) = \sqrt2 Bf′(0)=−2Asin(0)+2Bcos(0)=2B
or f′(0)=2f'(0) = 2f′(0)=2
donc 2B=2\sqrt2B = 22B=2 soit B=2B = \sqrt2B=2conclusion :
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)f(x) = cos(\sqrt2x) + \sqrt2 sin(\sqrt2x)f(x)=cos(2x)+2sin(2x)Indique les parties que tu ne comprends pas.
Applique le même raisonnement pour la question 2.
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@Noemi Pour la question 2.a) j'ai fais ceci :
9y′′+16y=09y''+16y = 09y′′+16y=0
y′′+169y=0y''+\dfrac{16}{9} y = 0y′′+916y=0
w=169w = \sqrt{\dfrac{16}{9}} w=916w=43w = \dfrac{4}{3}w=34
f(x)=Acos(43x)+Bsin(43x)f(x)= A cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )f(x)=Acos(34x)+Bsin(34x)
Est ce que c'est bon pour cette partie ?
Pour trouver AAA j'ai fais f(π4)f(\dfrac{\pi}{4})f(4π) ce qui donne f(π4)=1+32f(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}f(4π)=21+3.
Et après pour avoir AAA je bloque car dans l'énoncé f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3}f(4π)=3.
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C'est correct,
Pour déterminer A et B, tu écris un système de 2 équations à 2 inconnues à partir des deux valeurs données pour la fonction.
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@Noemi Désole je viens de modifier mon message précédent
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Tu oublies AAA et BBB.
f(x)=Acos(43x)+Bsin(43x)f(x)= A cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )f(x)=Acos(34x)+Bsin(34x)f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )f(4π)=Acos(3π)+Bsin(3π)
f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} f(4π)=2A+2B3
or f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4})= \sqrt3 f(4π)=3 donc
A2+B32=3\dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} = \sqrt32A+2B3=3
première équation que tu peux simplifier.
Applique le même raisonnement pour :
f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0f(2π)=0
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@Noemi je n'ai pas compris la troisième ligne du calcul. Serait t'il possible de me l'expliquer ?
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f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )f(4π)=Acos(3π)+Bsin(3π)
f(π4)=A×12+B×32f(\dfrac{\pi}{4})= A \times \dfrac{1}{2} + B \times\dfrac{\sqrt{3}}{2} f(4π)=A×21+B×23
f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} f(4π)=2A+2B3