DM : Équations différentielles

Bonjour,
Je bloque sur un exercice dans mon DM et j'aimerai avoir de l'aide si cela est possible car je comprends absolument rien.
L'exercice est :

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y^{''} + 2 y = 0$ telle que la droite d'équation $y = 2 x + 1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ .

2.a) Déterminer la solution $f$ de l'équation diffenrentielle $9 y^{''} + 16 y = 0$ vérifiant $f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$ et $f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0$ .

2.b) Vérifier que pour tout réel $x$ , $f(x)=2cos(43x−π6)f(x)=2cos(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6})$ .

Merci d'avance de votre aide ! Bonne journée.

Bonjour TheoRiz-20,

As tu trouvé la forme générale de la solution de l'équation $y^{''} + 2 y = 0$ ?
Equation caractéristique : $r^2 + 2 = 0$ ; $r = . . . . .$
Soit $y = . . . . .$

Avec l'aide de mon cours je trouve ceci :
$y^{''} + 2 y = 0$
La formule : y''+w² y = 0
Ce qui donne : $w=2w=\sqrt{2}$ ou $w=−2w=-\sqrt{2}$
On prends le $w$ supérieure à $0$
Ce qui donne finalement $cos(\sqrt{2} x) + B sin(\sqrt{2} x)$
Je ne sais pas si c'est cela que vous me demandez

@TheoRiz-20

Oui c'est cela que je demande.
Il reste à déterminer la valeur de A et B, deux inconnues donc deux éléments à prendre en compte à partir de l'énoncé.
A partir de l'équation de la tangente au point d'abscisse 0,
La courbe passe par le point M(0; .....)
et le nombre dérivé est f'(0) = .....

@Noemi Donc pour trouver $f^{'} (0)$ je dois dériver $f$ et est ce que je dois prendre en compte $A$ et $B$ dans ma dérivée ou ils sont égales a $0$ ?

@TheoRiz-20

Les valeurs manquantes ..... sont à déterminer à partir de l'équation de la tangente.
Le calcul de $f^{'} (x)$ se fait à partir de l'expression de $f (x)$ avec $A$ et $B$ des constantes.

@Noemi désolé je suis sur mobile.
La dérivée donne bien :
-√2 sin(√2 x) + √2 cos ( √2 x) ?

@TheoRiz-20

Il manque les constantes
$-\sqrt2 Asin(\sqrt2 x) + \sqrt2 Bcos ( \sqrt2 x)$ ?

@Noemi D'accord je commence un peu a comprendre.
Donc ensuite je remplace x par 0 ce qui donne f'(0)=√2
Et ensuite je ne sais pas comment continuer

@TheoRiz-20

Dans ton calcul il manque la constante !

Tout d'abord, il faut calculer à partir de l'équation de la tangente :
$f (0)$ qui donne $f (0) = 1$ puis
$f^{'} (0)$ qui donne $f^{'} (0) = 2$ le coefficient directeur de la tangente.
A partir de l'écriture de $f (x)$
tu écris $f (0) = A c o s (0) + B s i n (0) = A$ puis tu déduis $A = . . . .$ sachant que $f (0) = 1$
A partir de l'écriture de $f^{'} (x)$
tu écris $-\sqrt2A sin(0) + \sqrt2 B cos (0)= ....$ et tu déduis $B = . . . . .$
sachant que $f^{'} (0) = 2$ .
Complète les .....

Puis tu conclus sur l'écriture de la solution.

Applique la même démarche pour la question 2)
Indique tes calculs si tu souhaites une correction.

@Noemi Pouvez-vous m’éclairer pour déduire $A$ car dans mon cours cela est mal indiquer donc je n'arrive pas a comprendre la démarcher ?

@TheoRiz-20

$f (0) = A c o s (0) + B s i n (0) = A$
or $f (0) = 1$
donc $A = 1$
$-\sqrt2A sin(0) + \sqrt2Bcos(0) = \sqrt2 B$
or $f^{'} (0) = 2$
donc $2B=2\sqrt2B = 2$ soit $\sqrt2$

conclusion :
$cos(\sqrt2x) + \sqrt2 sin(\sqrt2x)$

Indique les parties que tu ne comprends pas.

Applique le même raisonnement pour la question 2.

@Noemi Pour la question 2.a) j'ai fais ceci :
$9 y^{''} + 16 y = 0$
$y′′+169y=0y''+\dfrac{16}{9} y = 0$
$\sqrt{\dfrac{16}{9}}$

$\dfrac{4}{3}$
$cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )$
Est ce que c'est bon pour cette partie ?
Pour trouver $A$ j'ai fais $f(π4)f(\dfrac{\pi}{4})$ ce qui donne $f(π4)=1+32f(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ .
Et après pour avoir $A$ je bloque car dans l'énoncé $f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$ .

@TheoRiz-20

C'est correct,

Pour déterminer A et B, tu écris un système de 2 équations à 2 inconnues à partir des deux valeurs données pour la fonction.

@Noemi Désole je viens de modifier mon message précédent

@TheoRiz-20

Tu oublies $A$ et $B$ .
$cos(\dfrac{4}{3} x) + B sin (\dfrac{4}{3} x )$

$f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )$

$f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2}$

or $f(π4)=3f(\dfrac{\pi}{4})= \sqrt3$ donc

$A2+B32=3\dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2} = \sqrt3$

première équation que tu peux simplifier.

Applique le même raisonnement pour :
$f(π2)=0f(\dfrac{\pi}{2}) = 0$

@Noemi je n'ai pas compris la troisième ligne du calcul. Serait t'il possible de me l'expliquer ?

@TheoRiz-20

$f(π4)=Acos(π3)+Bsin(π3)f(\dfrac{\pi}{4})= A cos(\dfrac{\pi}{3} ) + B sin (\dfrac{\pi}{3} )$

$f(π4)=A×12+B×32f(\dfrac{\pi}{4})= A \times \dfrac{1}{2} + B \times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$f(π4)=A2+B32f(\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{A}{2} + \dfrac{B\sqrt3}{2}$