Questions d'arithmétique de spécialité maths



  • Bonjour, j'ai un dm de maths à rendre et j'ai deux questions auxquelles j'ai un souci, pourriez vos m'aider svp?

    1)-L'équation x² - 4y² = 3 avec x et y entiers , admet combien de solutions?

    2)-L'équation d'inconnue (x;y) 5x - 4y = 1 dans Z x Z :

    A: a pour solution (1;1)

    B: n'a pas de solution

    C : a pour solutions les couples (4k+1 ; 5k+1), avec k appartenant à Z

    D : a les mêmes solutions que le système :
    {x1[mod4]y1[mod5]\begin{cases}x \equiv 1 [mod4]\cr y\equiv 1 [mod5]\end{cases}


  • Modérateurs

    Bonjour Iris29,

    Indique tes éléments de réponse.
    Pour l'équation x2=4y2+3x^2 = 4y^2 + 3 fais une étude selon la parité des inconnues.



  • Bonjour merci d'avoir répondu mais vous entendez quoi par donne des éléments de réponse?



  • Re: A partir de ce que vous avez dit, j'ai fais:

    x²=4y²+3
    x=2y+racine de3
    x-2y est du signe racine de 3 et moins racine de 3 est ce celà?


  • Modérateurs

    @Iris29

    Donner des éléments de réponse, c'est indiqué tes pistes de recherche.
    Attention :
    x2=4y2+3x^2=4y^2+3 a pour solutions :
    x=±4y2+3x=\pm\sqrt{4y^2+3}

    je ne fournis pas une réponse mais juste des indications pour permettre de résoudre l'exercice.

    Une autre piste : démontrer que si un couple (x;y)(x;y) est solution alors x23(4)x^2\equiv 3 (4).
    Chercher les restes possibles de la division de x2x^2 par 4.
    Puis conclure que l'équation n' a pas de solution.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Isis29 n'a pas donné suite pour ses questions.
    Il(elle) a dû terminer seul(e) son exercice.

    Quelques indications, pour consultation éventuelle.

    Pour la 1), en suivant les conseils de Noemi :

    Recherche des restes possibles de la division de x² par 4.

    Deux cas :

    x est pair, c'est à dire x=2p, avec p entier
    x2=4p2=4(p2)+0x^2=4p^2=4(p^2)+0 le reste est nul
    x20 [mod4]x^2\equiv 0\ [mod4]

    x est impair, c'est à dire x=2p+1, avec p entier
    x2=(2p+1)2=4p2+4p+1=4(p2+1)+1x^2=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=4(p^2+1)+1
    Le reste est 1
    x21 [mod4]x^2\equiv 1\ [mod4]

    Conclusion : x23 [mod4]x^2\equiv 3\ [mod4] est impossible, d'où la réponse à la question 1).


  • Modérateurs

    La question 2) est liée à la résolution de l'équation diophantienne 5x-4y=1
    Pistes,
    Le couple (1,1) est solution évidente vu que 54=15-4=1
    Soit :
    {5x4y=154=1\begin{cases}5x-4y=1\cr 5-4=1\end{cases}
    En retranchant membre à membre
    5(x1)4(y1)=05(x-1)-4(y-1)=0 <=> 5(x1)=4(y1)\fbox{5(x-1)=4(y-1)}
    5(4(y1)5|(4(y-1) donc 5(y1)5|(y-1) vu que 5 et premier avec 4 (Gauss)
    Donc il existe k entier tel que y1=5ky-1=5k, c'est à dire y=5k+1y=5k+1 donc y1 [mod5]y\equiv 1\ [mod5]

    On remplace y par son expression dans l'équation 5(x1)=4(y1)5(x-1)=4(y-1) et l'on obtient :
    x=4k+1x=4k+1 donc x1 [mod4]x\equiv 1\ [mod4]

    Ensuite, on vérifie les couples ainsi trouvés sont solutions de 5x4y=15x-4y=1

    On déduit les réponses pour A,B,C,D de la question 2)

    Bonne lecture.


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