OPTIMISATION Casserole Cylindrique

[Megan Hovington]

Bonjour,
Voilà le problème: Le matériau utilisé pour fabriquer le fond et le tour d'une casserole cylindrique coûte cher au manufacturier.

1- Déterminer la relation entre le rayon et la hauteur d'une casserole de 2L (2000 cm3) pour que sa fabrication nécesitte le moins de matériau possible

2-Si le fond coûte 14c/cm2 et le tour 10c/cm2, déterminer les dimensions pour que le coût de fabrication soit minimal et calculer ce coût de fabrication

[Noemi]

Bonsoir Megan-Hovington,

Indique tes éléments de réponse.
Si $r$ est le rayon du cylindre et $h$ sa hauteur :
Volume de la casserole : $V=\pi \times r^2\times h$
Aire du matériau nécessaire : $A=\pi \times r^2+2\pi \times r\times h$
$V=2000$, exprime $h$ en fonction de $r$ puis écris $A$ en fonction de $r$.
Puis tu cherches le minimum de la fonction $A(r)$.

[mtschoon]

Bonjour,

@Megan-Hovington a dû résoudre l'optimisation du coût de fabrication seule, vu qu'elle n'a pas redemandé d'aide pour le faire.
(C'est le côut minimal qui est demandé, non la surface minimale, vu que les prix sont différents pour le fond et pour le tour)

Pour consultation éventuelle, je mets quelques pistes sur cette question.

Coût de fabrication relatif au fond : $\pi r^2\times 14=14\pi r^2$

Coût de fabrication relatif au tour (surface latérale de la casserole) $2\pi rh\times 10=2\pi r\times \frac{20000}{\pi r^2}=\frac{40000}{r}$

Le coût total de fabrication est donc :
$\fbox{C(r)=14\pi r^2+\dfrac{40000}{r}}$

Pour $r>0$, il reste à étudier les variations de C pour obtenir le minimum.

$C^{\prime }(r)=28\pi r+40000(-\frac{1}{r^2})$
Le signe de $C^{\prime }(r)$ permet d'obtenir le sens de variation de $C$.
Le minimum est obtenu pour $C^{\prime }(r)=0$
$C^{\prime }(r)=0$ <=> $28\pi r=\frac{40000}{r^2}$<=> $28\pi r^3=40000$

Au final, $r^3=\frac{40000}{28\pi }=\frac{10000}{7\pi }$
en prenant la racine cubique (c'est à dire la puissance 1/3)
$\fbox{r=\sqrt [3]{\dfrac{10000}{7\pi}}}$

A la calculette,
$r\approx 7.69$
On déduit que $h\approx 10.76$

Bons calculs et Bonne lecture.