exercice sur suite intérêts composés avec algorithmes

Fabien a le projet de partir 6 mois en voyage à la recherche de bons spots de surf. Pour cela, il souhaite
acquérir un van et l'aménager. Il estime le coût final de son véhicule à 15 000 euros .
Le 1er janvier 2014, il dépose 6 000 euros sur un compte-épargne à intérêts composés rémunéré à 2,5 %
par an. Il décide de plus de s'astreindre à déposer chaque 1er janvier des années suivantes 800 euros sur ce compte. Quand pourra-t-il partir ?

Pour répondre à cette question, on pose un la somme disponible sur son compte le 1er janvier de
l'année 2014+n.
Les résultats seront, au besoin, arrondis au centime d'euro.

Justifier que, pour tout n ∈ N, un+1 = 1,025un +800.
La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ N par vn = un +32 000.
(a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme.
(b) En déduire l'expression de vn puis de un en fonction de n.
On suppose pour la suite que un = 38 000×1,025n −32 000.
(a) Étudier la monotonie de (un).
(b) Déterminer à quelle date il pourra partir.
On souhaite écrire un algorithme affichant pour tout entier naturel n donné, tous les termes
de la suite du rang 0 au rang n.
Parmi les 3 algorithmes suivants, lequel convient. On indiquera pourquoi les deux autres ne
conviennent pas.

Algorithme 1 :
SAISIR n
u PREND LA VALEUR 6000
POUR i ALLANT de 0 A n
u PREND LA VALEUR 1,025u+800
FIN POUR
AFFICHER u

Algorithme 2 :
SAISIR n
u PREND LA VALEUR 38000
POUR i ALLANT de 0 A n
AFFICHER u
u PREND LA VALEUR 1,025u
FIN POUR

Algorithme 3 :
SAISIR n
u PREND LA VALEUR 6000
POUR i ALLANT de 0 A n
AFFICHER u
u PREND LA VALEUR 1,025u+800
FIN POUR

j'en suis là :
1-Un+1=1,025xUn+800
Comme U0=6000, Un+1, soit U1=6000x1,025 +800 = 6950 en 2015
donc on a bien Un+1=1,025xUn +800
2- la suite Un est elle arithmétique ? géométrique ?
je calcule U2= 7923,75 et U3 =8921,8
U2-U1#U3-U2 donc non arithmétique
U2/U1#U3/U2 donc non géométrique

est ce cela ??
merci

question 3
Vn=Un+32000
a) je cherche Vn+1=Un+1+32000
ensuite je fais le rapport Vn+1/Vn= Un+1+32000/Un+32000
comment simplifier ??
on voit que le facteur commun pourrait être Un+32000 mais après ....

@helpcbv , bonjour,

Ici, la politesse n'est pas une option...
Merci de faire un petit geste de politesse .

Je regarde tes réponses :

Pour la 1), ta démarche est bonne mais il faut calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$

$Un+1=Un+2.5100Un+800=....U_{n+1}=U_n+\dfrac{2.5}{100}U_n+800=....$ (tu continues)

Pour la 2) : c'est bon.

Pour la 3)
IL faut remplacer $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$ et $U_n$ par son expression en fonction de $V_n$

Par exemple
$V_{n+1}=U_{n+1}+32000=U_n(1.025)+800+32000$
$V_{n+1}=U_n(1.025)+32800=(V_n-32000)(1.025)+32800$

Tu simplifies et tu continues

Remarque :
Fais attention à l'expression de $U_n$ que tu dois trouver à la fin de la 3) et qui est celle du début de la 4)
C'est $U_n=38000(1.025)^n-32000$
( tu as fait une faute d'exposant en écrivant la formule)

pardon effectivement, je vous prie de m'excuser, désolé,

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

pardon effectivement, je vous prie de m'excuser, désolé,

Pouvez vous, s'il vous plait, m'aider ?
Je vous remercie

Tu es tout à fait excusé @helpcbv , vu que c'est ton premier post ici

Pour 1), 2), 3) je t'ai déjà répondu.
Regarde et reposte si besoin.

Pour la 1), ta démarche est bonne mais il faut calculer Un+1 en fonction de Un
U_{n+1}=Un+0,025:100 +800
oui Un=6000 donc Un+1=Unx100+0,025Un+800=102,5/100xUn+800
soit Un+1=1,025xUn+800

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

Pour la 1), ta démarche est bonne mais il faut calculer Un+1 en fonction de Un
U_{n+1}=Un+0,025:100 +800
oui Un=6000 donc Un+1=Unx100+0,025Un+800=102,5/100xUn+800
soit Un+1=1,025xUn+800

a) Vn=Un + 32000
Vn+1=Un+1+32000

Vn+1=1,025Un + 800 +32000
Vn+1=1,025xUn +32800
comme Vn=Un+32000 alors Un=Vn-32000
je remplace Un,
Vn+1=1,025x(Vn-32000)+32800
Vn+1=1,025xVn

donc la raison q=1,025 mais pour V0= ??? 6000 ?
je ne sais pas comment trouver ce 1er terme

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

Pour la 1), ta démarche est bonne mais il faut calculer Un+1 en fonction de Un
U_{n+1}=Un+0,025:100 +800
oui Un=6000 donc Un+1=Unx100+0,025Un+800=102,5/100xUn+800
soit Un+1=1,025xUn+800

a) Vn=Un + 32000
Vn+1=Un+1+32000

Vn+1=1,025Un + 800 +32000
Vn+1=1,025xUn +32800
comme Vn=Un+32000 alors Un=Vn-32000
je remplace Un,
Vn+1=1,025x(Vn-32000)+32800
Vn+1=1,025xVn

donc la raison q=1,025 mais pour V0= ??? 6000 ?
je ne sais pas comment trouver ce 1er terme

b) je ne comprends pas ce qu'il faut faire

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

Pour la 1), ta démarche est bonne mais il faut calculer Un+1 en fonction de Un
U_{n+1}=Un+0,025:100 +800
oui Un=6000 donc Un+1=Unx100+0,025Un+800=102,5/100xUn+800
soit Un+1=1,025xUn+800

a) Vn=Un + 32000
Vn+1=Un+1+32000

Vn+1=1,025Un + 800 +32000
Vn+1=1,025xUn +32800
comme Vn=Un+32000 alors Un=Vn-32000
je remplace Un,
Vn+1=1,025x(Vn-32000)+32800
Vn+1=1,025xVn

donc la raison q=1,025 mais pour V0= ??? 6000 ?
je ne sais pas comment trouver ce 1er terme

pour dire si c'est une geometrique il faut calculer les 4 premiers termes ?
et après comparer les rapports ?
Merci

@helpcbv

Je réponds à tes deux dernières questions.

Pour $V_0$ :
$V_0=U_0+32000=6000+32000=...$

Pour dire que la suite est géométrique, il faut dire que , pour tout n de N : $V_{n+1}=qV_n$
Ici : $q = 1.0125$

Donc $V_n=V_0q^n=....$

@mtschoon
ok pour V0=38000
maintenant, je ne comprends pas la méthode pour dire qu'elle est geometrique,
il me semblait qu'il fallait soit déterminer les 4 premiers termes ou faire
Vn+1/Vn ??

merci

Je t'ai déjà répondu.

Avec les 4 premiers termes, tu peux conjecturer (c'est çà dire "deviner") que la suite est géométrique, mais cela n'est pas suffisant.

Pour prouver qu'elle est géométrique, il faut avoir prouvé le cas général, c'est à dire que pour tout n de N : $\fbox{V_{n+1}=qV_n}$.

Si tu as l'habitude d'écrire en quotient (avec dénominateur non nul), cela revient à écrire :
$\fbox{\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=q}$

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@mtschoon
ok pour V0=38000
maintenant, je ne comprends pas la méthode pour dire qu'elle est geometrique,
il me semblait qu'il fallait soit déterminer les 4 premiers termes ou faire
Vn+1/Vn ??

merci

donc en fait on ne calcule rien juste montrer que c'est de la forme
Vn=Vo x q (exp n) ?
ce qui est étrange c'est que quand on calcule les 4 1er termes on ne trouve pas les même valeurs

Vérifie car, si ça marche de façon générale, ça marche forcément sur les 4 premiers termes, ou alors, il y a une erreur quelque part...

@mtschoon ah ok
oui je préfère le quotient, donc je comprends puisque que l'on a Vn+1=qVn
donc le résultat du quotient est q=1,025 donc elle est géométrique

Oui, si tu préfères l'écrire en quotient.

@mtschoon
j'ai vérifié les calculs des 4 1er termes je me suis planté j'utilisais la méthode arithmétique, maintenant les rapports
V4/V3=1,025.......ne se termine pas
V2/V1=1,025

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@mtschoon
j'ai vérifié les calculs des 4 1er termes je me suis planté j'utilisais la méthode arithmétique, maintenant les rapports
V4/V3=1,025.......ne se termine pas
V2/V1=1,025

est ce vérifié quand même si cela ne se termine pas ?

@helpcbv
pour la question
(b) En déduire l'expression de vn puis de un en fonction de n.
on écrit :
Vn=Voxq puissance n ?
Un=Vn -32000 ?

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

On suppose pour la suite que un = 38 000×1,025n −32 000.
(a) Étudier la monotonie de (un).

(b) Déterminer à quelle date il pourra partir.

a) on part sur Un+1 - Un = 38000 x 1,025 exp n+1-32000 - ( 38000 x 1,025 exp n-32000)
= 38000 ( 1,025 exp n+1-1,025 exp n)
38000 est positif
et la différence entre 1,025 exp n+1-1,025 exp n est positive
dnc la suite est croissante

Pour tes vérifications des valeurs de $V_n$ , j'ignore comment tu as fait, si tu n'as obtenu que des valeurs approchées,il est normal que le quotient ne fasses pas exactement 1.025

Tes dernières réponses sont exactes et tu dois trouver pour $U_n$ la valeur donnée à la question 4, à savoir
$Un=38000×(1.025)n−32000U_n=38000\times (1.025)^n-32000$

C'est bon pour ( $U_n$ ) croissante

ok,
question 4 b)déterminer la date ....

Un=38000 x 1,025 exp n - 32000
je pose Un=38000 x 1,025 exp n - 32000=15000
1,025 exp n = (15000 +32000)/38000
1,025 exp n=1,236...........
comment on isole la puissance n ?

Tu as précisément $1.025n=47381.025^n=\dfrac{47}{38}$
Pour terminer mathématiquement, il faudrait utiliser les logarithmes...qui ne sont pas au programme de 1 S
Donc, tu utilises seulement ta calculette ou un tableur.

ok en tâtonnant j'ai trouvé dans 9 ans il partira soit au 1er janvier 2023

Je viens de re-vérifier.
En passant par les logs, je trouve 8.6...
La plus petite valeur de n qui convient est donc bien n=9
Ta réponse me semble bonne

@mtschoon
38000x1,025 exp9 -32000= 15456,79
38000x1,025 exp8 -32000 = 14299,31
38000x1,025 exp 7 -32000=13170,05
pour moi à partir de la 9ème année il dépasse les 15000

@helpcbv
C'est bon.

@mtschoon ok merci
pour les algo je ne sais pas quoi faire devant ça..;

Pour les algorithmes, observe ce qui se passe dans la boucle (entre "POUR i allant de 0 à n" et" FIN POUR"), et observe où est "AFFICHER u"

Pour mieux comprendre, au brouillon, tu peux donner à n une valeur simple (3 ou 4) et faire tourner chaque algorithme, pour voir celui qui convient.

@mtschoon
que faire de n=3 ? dans quoi je le mets car je ne vois pas de petit n dans les énoncés ??,

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@mtschoon
que faire de n=3 ? dans quoi je le mets car je ne vois pas de petit n dans les énoncés ??,

on a 1,025u +800
1,025n
et
1,025u+800
vraiment perdu sur ce coup

Si tu prends n=3, cela veut dire qu'à "SAISIR n", tu as choisi n=3.

Dans l'énoncé, $U_{n+1}=1.025U_n+800$
Donc, la formule $u = 1.025 u + 800$ est exacte, alors que la formule $u = 1.025 u$ est fausse

L'algorithme 2 est donc FAUX

Il te reste à choisir entre le 1 et le 3

mais dans quoi je remplace cette valeur n

Tu remplaces n par 3 dans la boucle qui s'écrit ainsi :
Pour i ALLANT de 1 A 3 .......FIN POUR

@mtschoon
ça veut dire qu'il faut entrer cet algo sur sa calculette ?

Tu peux le rentrer dans ta calculette si tu sais programmer avec, ou dans un logiciel tel que ALgoBox, ou au brouillon( à la main) , mais le problème n'est pas là !
Il faut que tu comprennes la logique du fonctionnement et ça te suffira pour répondre à la question.

@mtschoon je suis d'accord qu'il faut comprendre, le soucis c'est que je ne comprends vraiment quoi faire...je suis désolé pour le coup suis nul

@helpcbv a dit dans exercices suite intérêt composé :

@mtschoon je suis d'accord qu'il faut comprendre, le soucis c'est que je ne comprends vraiment quoi faire...je suis désolé pour le coup suis nul

pardon je n'avais pas vu le post précédent
Dans l'énoncé, U_{n+1}=1.025U_n+800U
n+1
=1.025U
n
+800
Donc, la formule u=1.025u+800u=1.025u+800 est exacte, alors que la formule u=1.025uu=1.025u est fausse

@helpcbv
bref même avec ça je ne vois pas...je ne comprends pas ces algo...

Tu ne maitrises pas le principe des algorithmes.

Je fais tourner l'algo 1, pour que tu comprennes.

n=3
U=6000
ON RENTRE DANS LA BOUCLE
i=0 : U prend la valeur $1.025×6000+800=69501.025\times 6000+800=6950$
i=1 : U prend la valeur $1.025×6950+800=7923.751.025\times 6950+800=7923.75$
i=2 : U prend la valeur $1.025×7923.75+800=8921.84381.025\times 7923.75+800=8921.8438$
i=3 : U prend la valeur $1.025×8921.2438+800=9944.88981.025\times 8921.2438+800=9944.8898$
ON SORT DE LA BOUCLE
L'affichage de U est donc 9944.8898

J'espère que tu comprends que :
la première valeur de U est $U_0=6000$
Pour i=0, l'algo calcule $U_1$
Pour i=1, l'algo calcule $U_2$
Pour i=2, l'algo calcule $U_3$
Pour i=3, l'algo calcule $U_4$
La valeur affichée est donc $U_4$

ok je comprends, oui U0=6000
maintenant comment savoir ce qui convient ? on regarde où pour vérifier ?
pour le 2
n=3
U0=38000
affiche 38000
i=0 U1= 38950
i=1 U2=39923,75
i=2 U3=40921,8...
i=3 U4=41944,88....
fin pour ???

Comme déjà indiqué, l'algo 2 ne peut pas convenir vu que la formule u=1.025u est fausse (il manque +800)
Mais, tu n'as pas bien regardé où est situé "AFFICHER u"

Dans les algos 2 et 3, "AFFICHER u" est dans la boucle et chaque valeur calculée est affichée.
Dans l'algo 1, "AFFICHER u" est après la sortie de boucle et c'est seulement le dernier terme calculé qui est affiché.

donc seul le 1er algo est vrai ?

Non.
Relis avec soin le début de l'énoncé de la question 5 :
"On souhaite écrire un algorithme affichant pour tout entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n."

@mtschoon
On souhaite écrire un algorithme affichant pour tout entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n.
Parmi les 3 algorithmes suivants, lequel convient. On indiquera pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
ok le 1 affiche seulement le dernier terme, alors qu'il faut tous les termes de 0 à n, donc pas le 1,
pas le 2 qui ne correspond à rien,
donc reste le numéro 3
l'algo donne les résultats de chaque terme et pas seulement le dernier
car il affiche U à cahque fois est ça ?

en tout cas merci de votre patience

Oui, c'est bien le 3 qui convient.

ok merci pour ces infos, sur la calculette
on peut le faire aussi entre cet algo ?

Bien sûr, à condition que tu connaisses le langage exact pour la programmation sur ta calculette (et chaque calculette a sa syntaxe).

Bon travail.

@mtschoon merci

De rien @helpcbv et j'espère que tu as bien compris ton exercice.