Arithmétique dans Z Exercice 2 (Congruences)


  • H

    Bonjour pouvez vous m'aider à cette exercice 1)Soit n de N*.on pose an=2^n+3^n+6^n-1
    a-verifier que an est un nombre pair pour tout n de N*
    b-determiner les valeurs de N pour que an=0[3]
    2) a-verifier que 3^3=1[13]
    b-montrer que 3^(6n+2)+3^(3n+1)=0[13]
    3-resoudre dans Z les deux équations
    3x=4[5] et 2x^2+3x+2=0[7]


  • N
    Modérateurs

    Bonjour hafud,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
    a-Montre que le terme 3n−13^n-13n1 est pair.


  • H

    @Noemi comment divisible par 2


  • N
    Modérateurs

    @hafud

    3≡1[2]3 \equiv 1 [2]31[2]
    3n≡1[2]3^n \equiv 1 [2]3n1[2]
    3n−1≡....[2]3^n - 1 \equiv .... [2]3n1....[2]


  • H

    @Noemi 0


  • N
    Modérateurs

    @hafud

    Oui, donc tu peux en déduire que ana_nan est un nombre pair.
    Applique un raisonnement analogue pour le b.


  • H

    @Noemi donc 3^n-1 est divisible par 2 donc an est pair


  • H

    @Noemi pour b on va montrer que 2(n)−12(^n)-12(n)1 est divisible par 333 ???


  • N
    Modérateurs

    @hafud

    Tu cherches les valeurs de n telles que 2n−1≡0[3]2^n - 1 \equiv 0 [3]2n10[3]


  • mtschoon

    @Noemi , @hafud , bonjour,

    @hafud n'en est qu'à la question 1)b), donc il y a le temps pour regarder la 2)...

    Il me semble qu'il y a une erreur dans la question 2)b)
    Il est écrit :
    "montrer que 3^(6n+2)+3^(3n+1)=0[13]"

    Tests :
    Pour n =0
    36n+2+33n+1=32+31=12=12+0(13)3^{6n+2}+3^{3n+1}=3^2+3^1=12=12+0(13)36n+2+33n+1=32+31=12=12+0(13)
    Pour n=1
    36n+2+33n+1=38+34=6642=12+(510)(13)3^{6n+2}+3^{3n+1}=3^8+3^4=6642=12+(510)(13)36n+2+33n+1=38+34=6642=12+(510)(13)

    Donc énoncé à vérifier.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Il semble que hafud ait terminé seul son exercice.

    Quelques compléments pour consultation éventuelle.

    Pour 1)b) en suivant les conseils de Noemi, chercher n tel que 2n≡1 [3]2^n \equiv 1\ [3]2n1 [3]

    Commencer par conjecturer la réponse en donnant à n des petites valeurs
    20=12^0=120=1 donc 20≡1 [32^0\equiv 1\ [3201 [3] ; 21=22^1=221=2 donc 21≡2 [3]2^1\equiv 2\ [3]212 [3]
    22=42^2=422=4 donc 22≡1 [32^2\equiv 1\ [3221 [3] ; 23=82^3=823=8 donc 23≡2 [3]2^3\equiv 2\ [3]232 [3]
    24=162^4=1624=16 donc 24≡1 [32^4\equiv 1\ [3241 [3] ; 25=322^5=3225=32 donc 25≡2 [3]2^5\equiv 2\ [3]252 [3]
    etc
    On peut conjecturer que
    pour n pair, 2n≡1 [3]2^n\equiv 1\ [3]2n1 [3]
    pour n impair, 2n≡2 [3]2^n\equiv 2\ [3]2n2 [3]

    Il faut ensuite le prouver.
    Soit k naturel.
    pour n =2k, 22k=(22)k=4k2^{2k}=(2^2)^k=4^k22k=(22)k=4k
    4≡1 [3]4\equiv 1\ [3]41 [3], 4k≡1k [3]≡1 [3]4^k\equiv 1^k\ [3] \equiv 1\ [3]4k1k [3]1 [3] donc 22k≡1 [3]2^{2k}\equiv 1\ [3]22k1 [3]

    pour n =2k+1, 22k+1=(22)k×21=4k.22^{2k+1}=(2^2)^k\times 2^1=4^k.222k+1=(22)k×21=4k.2
    4k≡1 [3]4^k\equiv 1\ [3]4k1 [3] et 2≡2 [3]2\equiv 2\ [3]22 [3] donc 22k+1≡2 [3]2^{2k+1}\equiv 2\ [3]22k+12 [3]

    On déduit la réponse à la question posée.

    2)a) 33=27=1+(2×13)3^3=27=1+(2\times 13)33=27=1+(2×13) donc 33≡1 [13]3^3\equiv 1\ [13]331 [13]

    2)b) 36n+2+33n+1=(33)2n.9+(33)n.33^{6n+2}+3^{3n+1}=(3^3)^{2n}.9+(3^3)^n.336n+2+33n+1=(33)2n.9+(33)n.3

    33≡1 [13]3^3\equiv 1\ [13]331 [13] , 9≡9 [13]9\equiv 9\ [13]99 [13] et 3≡3 [13]3\equiv 3\ [13]33 [13]

    En utilisant les propriétés usuelles des congruences, on obtient après transformations
    36n+2+33n+1=12 [13]3^{6n+2}+3^{3n+1}=12\ [13]36n+2+33n+1=12 [13]

    3)Pour résoudre 3x≡4 [5]3x\equiv 4\ [5]3x4 [5]

    Vu que l'on travaille modulo 5, les valeurs de x à analyser sont 0,1,2,3,4.
    On peut disposer sous forme de table des restes.
    Regarder éventuellement l'explication de la méthode ici :
    https://www.youtube.com/watch?v=mw9-Fhs-OJw

    Pour résoudre 2x2+3x+2≡0 [7]2x^2+3x+2\equiv 0\ [7]2x2+3x+20 [7] que l'on peut aussi écrire 2x2+3x≡5 [7]2x^2+3x\equiv 5\ [7]2x2+3x5 [7]

    Vu que l'on travaille modulo 7, les valeurs de x à analyser sont 0,1,2,3,4,5,6.
    On peut disposer sous forme de table des restes.
    Regarder éventuellement l'explication de la méthode ici :
    https://www.youtube.com/watch?v=5KvFykZZXX8

    Bonne lecture.


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