Principe de récurrence

Bonjour,
Je suis en train de travailler sur le principe de récurrence et je bloque. En cours je comprends mais seule je n'y arrive plus.
Voici l'énoncé: On considère la suite (Un) définie par: U0=7 et pour tout entier n, Un+1=2Un-3
Démontrons par récurrence que pour tout entier n, P(n): Un=2n+2+3
Merci d'avance pour ceux qui pourront m'éclairer

Bonjour Loan-Bremont,

Indique tes éléments de réponse, la démarche utilisée.
Vérifie la deuxième expression de Un.
Je propose pour $U_n$ : $U_n=2^{n+2}+3$

Bonjour @Noemi et bonjour @Loan-Bremont .

Tout à fait d'accord avec la proposition de @Noemi sur l'expression de $U_n$

@Loan-Bremont , je t'explicite un peu ce que tu dois faire.

Initialisation : Vérification pour n=0
Tu remplaces n par 0 dans l'expression $U_n=2^{n+2}+3$ et tu vérifies que tu obtiens bien $U_0=7$

Transmission ( on dit aussi Hérédité . Regarde sur ton cours ce que te dit ton professeur)

Pour une valeur n de N, tu supposes que : $U_n=2^{n+2}+3$ (c'est l'hypothèse de la récurrence)

Avec cette hypothèse, tu dois démontrer que la propriété est vraie à l'ordre n+1, c'est à dire que $U_{n+1}=2^{(n+1)+2}+3$ , c'est à dire que $U_{n+1}=2^{n+3}+3$ (formule ***)

Pour cela , tu pars de $U_{n+1}=2U_{n}-3$

Dans cette expression de $U_{n+1}$ , tu remplaces $U_n$ par $2^{n+2}+3$ (hypothèse de la récurrence) et tu dois trouver la formule ***

Tu pourras ainsi tirer la conclusion demandée.

Cela est la marche à suivre .
Fais les calculs et tiens nous au courant (surtout si tu n'y arrives pas...).

Bonjour @Noemi
Et bien merci je vais tester ça et je vous tiens au courant

Bonjour @mtschoon merci je pense que ça va beaucoup m'aider je vous donne mes résultats quand j'aurais fini

Encore bonjour @Noemi et @mtschoon
J'ai réussi alors j'ai obtenu pour l'hérédité:
2Un-4
=2(3×2^n+4)-4
=2×3×2^n+2×4-4
=6×2^n+8-4
=6×2^n+1+4
=2(3×2^n)+4
Pn vraie implique Pn+1 vraie
Conclusion:
P0 vraie
Pn vraie implique Pn+1vraie
D'après PR (principe de récurrence), pour tout n appartenant à N, Un=3×2^n+4

@Loan-Bremont , bonjour,

La démarche de tes calculs est exacte, mais elle ne correspond pas à l'énoncé proposé...
Tu as dû faire plusieurs exercices du même type et tu as mélangé...

L'essentiel est que tu aies compris !

Avec l'énoncé proposé,

$U_n=2^{n+2}+3$ et $U_{n+1}=2U_n-3$

d'où

$Un+1=2×(2n+2+3)−3U_{n+1}=2\times(2^{n+2}+3)-3$

$U_{n+1}=2^{n+3}+6-3=2^{n+3}-3$

d'où la conclusion souhaitée

Bon travail !

@mtschoon merci je vais faire plus attention pour la prochaine fois

De rien @Loan-Bremont !