DM Raisonnement par récurrence

bonjour j'ai besoin d'aide pour cette exercice , j'ai du mal a comprendre l’énoncé

n désigne un entier naturel non nul, on note Un la somme des n premiers entier naturel non nuls, Vn la somme de leurs carré et Wn la somme de leurs cubes soit:

Un=1+2+3+...+n=somme(k=1 en bas et n en haut)=k
Vn=1^2+2^2+3^2+...+n^2=somme (k=1 en bas et n en haut)=k^2
Wn=1^3+2^3+3^3+...+n^3=somme k^3
1)Représenter graphiquement les 20 premiers termes de la suite Un
2)le nuage de points obtenus a-il une particularité? si oui laquelle?
3)Ce résultat est-il prévisible?
4)Calculer (Vn/Un)
5)le nuage de points obtenus a-il une particularité? si oui laquelle?

merci d'avance

Bonjour tigre303,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
As tu fait la représentation graphique de la suite $U_n$ ?

oui je l'ai fait graphiquement Un

@tigre303

Quelle particularité as tu notée ?

As tu calculé $VnUn\dfrac{V_n}{U_n}$ ?

la courbe elle est croissante
Vn/Un je ne l'ai pas fait

Oui fonction croissante.
calcule $V1U1\dfrac{V_1}{U_1}$ , $V2U2\dfrac{V_2}{U_2}$ , ....
puis place les points

Vn/Un est en desous des points de Un et Vn

Construis le nuage de points en calculant les rapports
soit 1 ; 3/5 . .....
puis analyse ce nuage de points

les points nuages forment une droite linéaire

V1/U1=(1;1)
V2/U2=(2;1,666)
V3/U3==(3;2,333)
V4/U4=(4;3)
V5/U5=(5;3,666)
V6/U6=(6;4,333)
V7/U7=(7;5)
V8/U8=(8;5,666
V9/U9=(9;6,333)
V10/U10=(10;7)
...V20/U20=(20;13,666)

Tu as raison, les points sont bien alignés.

Ca ne répond pas à la question

Cela répond à la question : Le nuage de point a t'il une particularité ?

y a t-il d'autres questions à l'exercice ?

oui il y a une autre question à l'exercice
Conjecturer une formule de Vn en fonctoin de n

Comme tu obtiens des points alignés, tu déduis $VnUn=an+b\dfrac {V_n}{U_n}= an + b$
avec $a$ et $b$ deux constantes à déterminer à partir de deux points de la droite.

je trouve n+(2/3)

Tu dois trouver : $2n3+13\dfrac{2n}{3}+\dfrac{1}{3}$

pourquoi?

@tigre303

J'ai choisis deux points A(1;1) et B(4;3) puis j'ai déterminé l'équation de la droite.

c'est bon j'ai trouver ça .
avec cette éqution comment je peux conjecturer la formule de Vn en fonction de n?

Tu écris $V_n$ en fonction de $U_n$ puis
tu utilises la formule de $U_n$ en fonction de n, soit
$Un=n(n+1)2U_n= \dfrac{n(n+1)}{2}$
et tu simplifies l'expression.

je prend l’équation de droite

j'utilise l'équation de droite aussi?

Oui
Tu peux écrire $V_n$ sous la forme :
$Vn=(2n+13)UnV_n = (\dfrac{2n+1}{3})U_n$
puis tu remplaces $U_n$ par son expression en fonction de n.
Tu dois trouver :
$Vn=n(n+1)(2n+1)6V_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

pourquoi tu as multiplier Un avec l'equation de droite

Tu as représenté : $VnUn\dfrac {V_n}{U_n}$ en fonction de n.

D'ou l'équation de la droite c'est : $VnUn=2n+13\dfrac {V_n}{U_n} =\dfrac{2n+1}{3}$
d'ou $V_n$ = ....

est ce que c'est posssible de faire la meme technique pour Wn

Tu peux essayer.
C'est une question de l'exercice ?

Bonour @Noemi et bonjour @tigre303 ,

@tigre303 , une suggestion supplémentaire pour $W_n$

Tu peux essayer d'utiliser la même technique pour $W_n$ comme te l'indique @Noemi .

Si cela ne donne rien de bon, essaie $Wn(Un)2\dfrac{W_n}{(U_n)^2}$