Devoir maison récurrence

Bonjour,
Cela fait déjà plusieurs heures que je me penche sur cette question, j'ai beau essayé toutes les solutions possibles mais je ne trouve pas la résolution...

On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n, Wn= Un/Vn

En utilisant l'égalité, Un+1= Vn+ 1/2(Un), montrer que pour tout entier naturel n, Wn+1=Wn+2.

On sait de plus d'après l'exercice,

Vn= Un+1- 1/2(Un)
Un+2= Un+1- 1/4(Un)

Je vous remercie à l'avance

Bonjour Constance,

Pas de question avant celle proposée dans ce post ?
Aucune indication sur les suites $U_n$ et $V_n$ ?

@Noemi Vn est géométrique de raison 1/2
Et Un n'est ni arithmétique ni géométrique.

La question précédente était de justifier que la suite Wn et bien définie sur N

@Constance

Il faut bien indiquer les indices.
$Wn=UnVnW_n = \dfrac{U_n}{V_n}$ donc $Wn+1=Un+1Vn+1W_{n+1} = \dfrac{U_{n+1}}{V_{n+1}}$
soit $Wn+1=Vn+12UnVn+1W_{n+1} = \dfrac{V_n+\dfrac{1}{2}U_n}{V_{n+1}}$
or $Vn+1=12VnV_{n+1} =\dfrac{1}{2}V_n$ que tu remplaces dans l'expression
et en simplifiant
$W_{n+1}=2 + W_n$

@Noemi
Merci,
Mais je ne vois pas comment on arrive à simplifier cette expression
Et le +2 on le rajoute que à la fin de l'expression puisque qu'on a calculer que Wn dans l'expression ?

@Constance

$Wn+1=Vn+12Un12VnW_{n+1}=\dfrac{V_n+\dfrac{1}{2}U_n}{\dfrac{1}{2}V_n}$
Soit
....

@Noemi factorisation
Merci

@Constance J'ai un autre soucis avec la question d'après...

Je ne comprends pas le sens de la question, n'y de ce que le prof attend

La question est la suivante :

Montrer que pour tout entier naturel n, Un= 2n-1/2^n

Que doit-on faire ?

Appliquer la récurrence ne me semble pas la bonne réponse

Mais on connaît Un+1 qui est = Vn+ 1/2(Un)

Merci

@Constance

Que peut-on dire sur la nature de la suite $W_n$ ?
Tu déduis $W_n$ en fonction de $n$ , puis $U_n$ en fonction de $n$ .

@Noemi Wn est arithmétique ?
Mais en quoi cela pourrait-il nous aider?

@Constance

Tu en déduis l'expression de $W_n$ en fonction de $n$ .
Que tu remplaces dans $Un=Wn×VnU_n=W_n \times V_n$ .

@Noemi donc on remplace Un et Vn par leur expression dans un premier temps, et après on calcule Un?

@Constance

On remplace $W_n$ et $V_n$ par leur expression en fonction de n pour trouver $U_n$ en fonction de n.

Indique tes calculs si tu souhaites une correction.