Démontrer par récurrence ...



  • Bonjour,
    Je dois démontrer par récurrence que Un=2n−12nU_n= \dfrac{2n-1}{2^n}Un=2n2n1
    Nous savons que la suite Un n'est ni arithmétique ni géométrique.
    J'ai donc commencer par calculer le premier terme avec U0= -1
    J'ai obtenu alors -1

    L'énoncé nous indique que U1= 1/2
    Et que Un+2= Un+1- 1/4(Un)

    Malheureusement je ne vois pas comment vérifier U0.
    De même pour l'hérédité.

    Merci d'avance 😬


  • Modérateurs

    Bonjour Constance,

    Vu que l'énoncé donne U1U_1U1, c'est U1U_1U1 qu'il faut calculer et non U0U_0U0.
    Vérifie et précise l'expression de UnU_nUn.



  • @Noemi C'est ça que j'ai pas compris dans le cours,
    On nous donne U0 et U1 mais comment savoir lequel utiliser?


  • Modérateurs

    @Constance

    Tu utilises le terme qui est donné dans l'énoncé. Ici c'est U1U_1U1, donc tu utilises U1U_1U1.


  • Modérateurs

    @Noemi bonjour et @Constance bonjour,

    @Constance , je trouve l'énoncé donné un peu confus...

    J'essaie de le traduire au mieux...

    (Un)(U_n)(Un) est la suite définie par : $\fbox{U_0=-1}$, $\fbox{U_1=\dfrac{1}{2}}$,
    et pour tout n de N : $\fbox{U_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n}$

    Tu dois démontrer que pour tout n de N : $\fbox{U_n=\dfrac{2n-1}{2^n}}$

    D'abord une remarque :
    Si tu veux prouver que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique, il te suffit , vu que l'énoncé te donne U0U_0U0 et U1U_1U1, de calculer U2U_2U2 avec la relation Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_nUn+2=Un+141Un (en prenant n=0).
    (Tu trouves ainsi U2=34U_2=\dfrac{3}{4}U2=43 )

    Dans cet exercice, tu as affaire à une récurrence double ( on dit aussi récurrence d'ordre 2 - regarde ce que dit ton professeur).
    L'énoncé indique les deux premiers termes et la relation donnant un terme en fonction des deux termes précédents.

    Pistes pour la démonstration de Un=2n−12nU_n=\dfrac{2n-1}{2^n}Un=2n2n1 que j'appelle (***)

    Initialisation
    Tu vérifie que cette relation (***) est vraie pour n=0 et n=1 (c'est à dire qu'en remplaçant n par 0, puis n par 1, tu obtiens bien les valeurs respectives−1-11 et 12\dfrac{1}{2}21 données dans l'énoncé).

    Hérédité

    Hypothèse de la démonstration :
    Tu supposes que la formule (***) est vraie à un ordre n et à l'ordre (n+1), c'est à dire
    Un=2n−12nU_n=\dfrac{2n-1}{2^n}Un=2n2n1 et
    Un+1=2(n+1)−12n+1U_{n+1}=\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}Un+1=2n+12(n+1)1 c'est à dire Un+1=2n+12n+1U_{n+1}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}Un+1=2n+12n+1

    Conclusion à démontrer à l'ordre (n+2) Un+2=2(n+2)−12n+2U_{n+2}=\dfrac{2(n+2)-1}{2^{n+2}}Un+2=2n+22(n+2)1 c'est à dire Un+2=2n+32n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+3}{2^{n+2}}Un+2=2n+22n+3

    Pour cela , tu calcules Un+2U_{n+2}Un+2 grâce à la relation Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_nUn+2=Un+141Un en remplaçant UnU_nUn et Un+1U_{n+1}Un+1 par les deux expressions de l'hypothèse et tu dois trouver la réponse souhaitée.

    Bons calculs !

    Tiens nous au courant (surtout si tu as des difficultés)



  • @mtschoon Bonjour, merci pour votre réponse, mais je n'ai pas compris pour démontrer Un?
    Vous m'avez dit de calculer avec l'expression Un+2 mais je ne reviens pas au résultat recherché 😬


  • Modérateurs

    @Constance ,

    Tu as peut-être fait une erreur de calcul,

    Piste,

    Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_nUn+2=Un+141Un

    Un+2=2n+12n+1−14×2n−12nU_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2n-1}{2^n}Un+2=2n+12n+141×2n2n1

    Pense que 4=224=2^24=22

    Un+2=2n+12n+1−2n−12n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}Un+2=2n+12n+12n+22n1

    Il te reste à réduire les deux fractions au même dénominateur 2n+22^{n+2}2n+2 ( en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2)

    Après avoir terminé ce calcul tu dois trouver le bon résultat
    Un+2=2n+32n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+3}{2^{n+2}}Un+2=2n+22n+3



  • @mtschoon Merci beaucoup !
    J'ai donc bien retrouvé le même résultat que vous !
    Mais je pense que je n'ai pas bien compris la question...
    Il s'agissait de trouver Un+1 et Un+2?


  • Modérateurs

    L'idée de récurrence double ne t'est peut-être pas familière.

    Tu supposes que la propriété () est vraie à l'ordre n et à l'ordre (n+1).
    Tu dois démontrer que cette propriété (
    ) est vraie à l'ordre (n+2)



  • @mtschoon Super merci beaucoup 😊


  • Modérateurs

    @Constance

    De rien et bonnes suites !☺


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