Démontrer par récurrence ...

Bonjour,
Je dois démontrer par récurrence que $Un=2n−12nU_n= \dfrac{2n-1}{2^n}$
Nous savons que la suite Un n'est ni arithmétique ni géométrique.
J'ai donc commencer par calculer le premier terme avec U0= -1
J'ai obtenu alors -1

L'énoncé nous indique que U1= 1/2
Et que Un+2= Un+1- 1/4(Un)

Malheureusement je ne vois pas comment vérifier U0.
De même pour l'hérédité.

Merci d'avance

Bonjour Constance,

Vu que l'énoncé donne $U_1$ , c'est $U_1$ qu'il faut calculer et non $U_0$ .
Vérifie et précise l'expression de $U_n$ .

@Noemi C'est ça que j'ai pas compris dans le cours,
On nous donne U0 et U1 mais comment savoir lequel utiliser?

@Constance

Tu utilises le terme qui est donné dans l'énoncé. Ici c'est $U_1$ , donc tu utilises $U_1$ .

@Noemi bonjour et @Constance bonjour,

@Constance , je trouve l'énoncé donné un peu confus...

J'essaie de le traduire au mieux...

$U_n)$ est la suite définie par : $\fbox{U_0=-1}$, $\fbox{U_1=\dfrac{1}{2}}$,
et pour tout n de N : $\fbox{U_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n}$

Tu dois démontrer que pour tout n de N : $\fbox{U_n=\dfrac{2n-1}{2^n}}$

D'abord une remarque :
Si tu veux prouver que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique, il te suffit , vu que l'énoncé te donne $U_0$ et $U_1$ , de calculer $U_2$ avec la relation $Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n$ (en prenant n=0).
(Tu trouves ainsi $U2=34U_2=\dfrac{3}{4}$ )

Dans cet exercice, tu as affaire à une récurrence double ( on dit aussi récurrence d'ordre 2 - regarde ce que dit ton professeur).
L'énoncé indique les deux premiers termes et la relation donnant un terme en fonction des deux termes précédents.

Pistes pour la démonstration de $Un=2n−12nU_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$ que j'appelle (***)

Initialisation
Tu vérifie que cette relation (***) est vraie pour n=0 et n=1 (c'est à dire qu'en remplaçant n par 0, puis n par 1, tu obtiens bien les valeurs respectives $- 1$ et $12\dfrac{1}{2}$ données dans l'énoncé).

Hérédité

Hypothèse de la démonstration :
Tu supposes que la formule (***) est vraie à un ordre n et à l'ordre (n+1), c'est à dire
$Un=2n−12nU_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$ et
$Un+1=2(n+1)−12n+1U_{n+1}=\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}$ c'est à dire $Un+1=2n+12n+1U_{n+1}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+2) $Un+2=2(n+2)−12n+2U_{n+2}=\dfrac{2(n+2)-1}{2^{n+2}}$ c'est à dire $Un+2=2n+32n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+3}{2^{n+2}}$

Pour cela , tu calcules $U_{n+2}$ grâce à la relation $Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n$ en remplaçant $U_n$ et $U_{n+1}$ par les deux expressions de l'hypothèse et tu dois trouver la réponse souhaitée.

Bons calculs !

Tiens nous au courant (surtout si tu as des difficultés)

@mtschoon Bonjour, merci pour votre réponse, mais je n'ai pas compris pour démontrer Un?
Vous m'avez dit de calculer avec l'expression Un+2 mais je ne reviens pas au résultat recherché

@Constance ,

Tu as peut-être fait une erreur de calcul,

Piste,

$Un+2=Un+1−14UnU_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n$

$Un+2=2n+12n+1−14×2n−12nU_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2n-1}{2^n}$

Pense que $4=2^2$

$Un+2=2n+12n+1−2n−12n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}$

Il te reste à réduire les deux fractions au même dénominateur $2^{n+2}$ ( en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2)

Après avoir terminé ce calcul tu dois trouver le bon résultat
$Un+2=2n+32n+2U_{n+2}=\dfrac{2n+3}{2^{n+2}}$

@mtschoon Merci beaucoup !
J'ai donc bien retrouvé le même résultat que vous !
Mais je pense que je n'ai pas bien compris la question...
Il s'agissait de trouver Un+1 et Un+2?

L'idée de récurrence double ne t'est peut-être pas familière.

Tu supposes que la propriété () est vraie à l'ordre n et à l'ordre (n+1).
Tu dois démontrer que cette propriété () est vraie à l'ordre (n+2)

@mtschoon Super merci beaucoup

@Constance

De rien et bonnes suites !