Suites numeriques (convergence)

Bonjour, j’ai un DS la semaine prochaine sur les suites du coup je m’entraine en faisant qlq exos sauf que je n’y arrive pas trop

montrer que si une suite converge vers 1, tous ses termes sont positifs a partir dˋun certain rang
(autres questions) on suppose que (Un) converge vers -1 montrer qu’il existe un rang a partir duquel Un<0

Je n’ai aucun éléments de reponses je sais pas comment commencer si qlqn peut m’aider
Merci d´avance

Bonjour shana67,

Pour commencer, utilise la définition du cours pour une suite convergente.

@shana67 rt @Noemi ,

@shana67 , comme te dit Noemi, regarde la définition de ton cours car on ne sait pas comment elle est formulée.

Je te donne une explication (à adapter)

Dire qu'une suite converge vers 1 signifie pour pour tout réel $ϵ\epsilon$ (strictement positif, aussi petit que l'on veut), on pourra toujours trouver des termes de la suite ( à partir d'un certain rang $n_0$ ) dans l'intervalle $]1−ϵ,1+ϵ[]1-\epsilon,1+\epsilon[$

Tu peux choisir par exemple $ϵ=12\epsilon=\dfrac{1}{2}$

Ansi, pour $n≥n0n\ge n_0$ , $Un∈]1−12,1+12[U_n\in \biggl]1-\dfrac{1}{2},1+\dfrac{1}{2}\biggl[$ c'est à dire $Un∈]12,32[U_n\in \biggl]\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\biggl[$ , d'ou la conclusion souhaitée.

Si cette explication est adaptée à ton cours, tu peux faire la même démarche pour ta seconde question.

@mtschoon
Bonjour dsl de la reponse tardive
Dans mon cours la definition est « une suite (un) a pour limite le reel L quand n tend vers + l’infini si tout intervalle content L contient tous les termes de la suite a partir d’un certain rang »
En utilisant la definition j’ai fait : « l’intervalle ]1;L+1[ est un intervalle ouvert contenant L donc par définition tous les termes de la suite sont dans cet intervalle (donc positif et convergent vers 1) à partir d´un certain rang

J’ai fait la meme chose piur la 2e question j’ai juste changé l’intervalle par ]-l’infini;-1[
Mais je doute tres fortement

@shana67 ,

Tu n'as peut-être pas très bien compris la définition de ton cours.

Pour la première question, L=1

La suite converge vers 1.
Donc, en appliquant à la lettre le définition de ton cours, tout intervalle contenant 1 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Tu peux prendre, par exemple, l'intervalle $]12,32[]\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}[$

Cet intervalle contient 1 et il est à termes positifs, donc tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang, ce qui est la conclusion souhaitée.

Remarque : L'intervalle que tu as pris, vu que L=1 est l'intervalle ]1,2[. Il ne convient pas car il ne contient pas 1

Lorsque tu as assimilé, traite le seconde question de la même façon.

@mtschoon
L=-1
« Une suite (un) a pour limite -1 quand n tend vers + l’infini si l’intervalle contenant -1 contient tous les termes de la suites a partir d’un certain rang »
Par exemple si u0 =-0,5 et u1= -1,5
Alors ils sont dans l’intervalle contenant -1 donc Un<0 a partir dˆun certain rang

C’est ca ?

@shana67 ,

Tu parles de $U_0$ et $U_1$ .
Ce ne sont pas les premiers termes qui sont utiles, ce sont les termes $U_n$ lorsque n tend vers + $∞\infty$

Applique la définition de ton cours : L=-1
Tout intervalle contenant -1 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Tu peux prendre, par exemple, comme tu l'indiques ( mais ce ne sont pas $U_0$ et $U_1$ dont il s'agit ) l'intervalle $]−32,−12[]-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}[$
Cet intervalle contient -1
Donc, à partir d'un certain rang ( $n≥n0n\ge n_0$ ), il contient tous les termes de la suite.
Vu que cet intervalle ne contient que des nombres négatifs, pour $n≥n0n\ge n_0$ , tous les termes de le la suite sont négatifs.

Reposte si mon explication n'est pas assez claire.

@mtschoon
Aaah c’est bon j’ai compris ! Super merci beaucoup!

De rien @shana67 , et ravie que tu aies compris .