Dm maths suite numeriques

Bonjour j’ai un dm sur les suites numeriques (avec les théorèmes de convergence, comparaison...)
Mais je bloque sur un exercice pourriez vous m’aider svp
(Un) definie par u0=2 et pour tout entier n Un+1=(1+0,5Un)/(0,5+Un)
On admet que tous les termes de la suite sont definis et strictement positifs
On considere l’algorithme suivant :
Entrée : entier naturel non nul n
initialisation: affecter a U la valeur 2
Traitement et sortie: pour i allant de 1 a n
Affecter a U la valeur (1+0,5U)/(0,5+U)
Afficher U
Fin Pour

completer le tableau en faisant fonctionner l´algo pour n=3 (arrondis au milieme)
Pour n=3 j’obtiens U=0,9756
pour n=12 on a obtenus U=1,000001 (toujours avec un tableau allant de n=4 a n=12)
Conjecturer le comportement de la suite (Un) a l´infini
Pour cette question j’ai pensé a faire le theoreme des gendarmes car je constate que plus n est grand et plus la limite de la suite semble tendre vers 1 (or je ne suis pas sur)
(je bloque vraiment)
(Vn) definie pour tout entier naturel n par Vn=(Un -1)/(Un +1) (+1 et -1 ne font pas partie de Un)
a) demontrer que (Vn) est geometrique de raison q=-1/3
b) calculer v0 puis ecrire Vn en fonction de n
c) montrer que pour tout n on a vn different de 1
d) montrer que pour tout n on a Un=(1+ Vn)/(1-Vn)
determiner la limite de (Un)
Voila dsl ca fait long j´ai déjà commencé mais je bloque vraiment au niveau de la question 3

Bonjour shana67,

Pour la question 1, l'arrondi est demandé au millième
Pour la question 2, il est demandé une conjecture, donc on suppose que la limite est égale à 1 si n tend vers plus l'infini.
Question 3, exprime $V_{n+1}$ en fonction de $U_{n+1}$ puis de $U_n$ et tu termines en fonction de $V_n$ .

@Noemi
Pour la 3 c’est ce que j’ai fait
Vn+1=
((1+0,5Un)/(0,5+Un) -1 )/((1+0,5Un)/(0,5Un)+1)
J’ai simplifié en multipliant par l’inverse :
((1+0,5Un)/(0,5+Un) -1) x ((0,5+Un)/(1+0,5Un) +1)
Mais a partir de ca je bloque

@shana67

$Vn+1=1+0,5Un0,5+Un−11+1+0,5Un0,5+UnV_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1+0,5U_n}{0,5+U_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5U_n}{0,5+U_n}}$
Tu réduis au même dénominateur
$Vn+1=0,5−0,5Un1,5+1,5UnV_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5U_n}{1,5+1,5U_n}$
Factorise pour retrouver $V_n$ et le coefficient.

@Noemi
J’ai obtenu
Vn+1= (0,5(1-Un))/((1,5(1+Un))
Mais du coup j’obtiens 1/3 et non pas -1/3
??

@Noemi
Et je trouve 1/3 pour V0 aussi ?!
V0=U0-1/U0+1

Bonsoir @Noemi et @shana67 ,

@shana67 , je regarde ta réponse relative à la raison de la suite.
Je pense que tu confonds $1-U_n)$ avec $U_n-1)$

$Vn+1=1−Un3(1+Un)=−(Un−1)3(Un+1)=−13VnV_{n+1}=\dfrac{1-U_n}{3(1+U_n)}=\dfrac{-(U_n-1)}{3(U_n+1)}=\dfrac{-1}{3}V_n$

$V_0$ vaut bien $13\dfrac{1}{3}$

Le numérateur de $V_n$ est égal à $U_n-1$ et pour $V_{n+1}$
tu trouves au numérateur $0,5(1-U_n)$ qui est égal à $0,5(U_n-1)$
donc on trouve bien -1/3.

@mtschoon
Oui c’est vrai j’avais pas fait attention je pensais pas que je pouvais mettre que l´un est egale a l´autre
En tt cas merci

@Noemi
Super merci bcp j’ai corrigé c’est bon
Pour la question qui suit je dois faire la recurrence?

Pour la question b), utilise l'expression du terme général d'une suite géométrique en fonction de n.
Pour la question c)tu peux faire une démonstration par récurrence.

@Noemi
b) vn=(1/3)x(-1/3)^n
Par contre pour la c) je n’arrive pas a faire hérédité
Initialisation: pour n=0
V0=1/3 V0 different de 1
Donc la propriété est vrai au rang 0
Hérédité : je bloque

@Noemi
Hérédité : supposons la propriété etablie est vrai montrons qu’elle l´est toujours au rang p(n+1)
Vn different de 1
1/3xVn different de 1x1/3
Vn+1 different de 1/3
Donc je pense avoir fait une erreur

Deux cas sont à étudier :
n impair et n pair :
si n impair $(−13)n<0(-\dfrac{1}{3})^n \lt 0$ donc .....
si n pair $(−13)n<1(-\dfrac{1}{3})^n \lt 1$ , il faut démontrer que cette propriété est vraie à l'ordre $n + 2$ .

@Noemi
Je comprend pas
Ca fait partie de la recurrence ou c’est une autre methode?

Tu peux utiliser la récurrence pour le cas n pair.

@Noemi
je Comprend pas la methode avec n pair/ impair

@shana67
Et le lien avec la question

Je reprends :
Tu dois montrer que pour tout n , $V_n$ différent de 1.
Or $Vn=13×(−13)nV_n = \dfrac{1}{3}\times (-\dfrac{1}{3})^n$
Si tu calcules les premiers termes:
$V0=13V_0 = \dfrac{1}{3}$ ; $V1=−19V_1 = -\dfrac{1}{9}$ ; $V2=127V_2 = \dfrac{1}{27}$ ; $V3=−181V_3 = -\dfrac{1}{81}$ ; ;...

Tu peux noter qu'un terme sur 2 est négatif donc forcément différent de 1 ( ce sont les termes d'indice impair).
Les autres termes sont positifs et on peut indiquer que la suite des termes de coefficient pair est décroissante de premier terme 1/3 différent de 1, et de raison 1/3(< 1).

@shana67

Une autre idée possible (solution rapide) pour la question 1)c) pour prouver que $Vn≠1V_n \ne 1$

Raisonner par l'absurde en revenant à la définition de $V_n$

$Vn=Un−1Un+1V_n=\dfrac{U_n-1}{U_n+1}$

$V_n=1$ <=> $Un−1Un+1=1\dfrac{U_n-1}{U_n+1}=1$ <=> $U_n-1=U_n+1$ <=> $- 1 = 1$

Impossible, donc $Vn≠1V_n\ne 1$

@mtschoon
@Noemi
Je comprend mieux le raisonnement par l’absurde.
J’ai compris celui avec n pair/impair mais je comprend pas pourquoi vous dites la raison est 1/9 ?

@shana67

C'est une erreur pour la raison, c'est 1/3 ( J'ai rectifié).