Question ouverte Chute libre d'une pierre dans un puis

Arnaud lance une pierre dans un puits. Au bout de 5 secondes , il entend le bruit de la pierre dans l'eau. Quelle est la profondeur du puit ?
On admet qu'un mobile en chute libre parcourt ( en mètres ) la distance 1/2gt2 en t secondes, où g= 9,8 m.s-2, et que la vitesse du son est environ 140m.s -1

Bonjour socarla,

Choisis les inconnues, $t_1$ durée de chute de la pierre, $t_2$ durée de parcours du son, $x$ profondeur du puits.
Il reste à écrire un système :
$t_1 + t_2 = 5$
$1/2gt_1^2 = vt_2$

Il reste à résoudre ce système.

Indique ta réponse si tu souhaites une correction

@Noemi Bonjour, le problème c'est que je suis bloquer même avec ce système donné, est-ce possible une correction ?

@Noemi et @socarla bonjour,

@socarla ,
Comme te l'a indiqué @Noemi , indique ta réponse pour avoir une correction.
Si tu ne donnes pas de réponse, on ne peut pas te la corriger.

Je t'avance un tout petit peu tes calculs

En utilisant les données de l'énoncé dans le système, tu obtiens

${t1+t2=512(9.81)(t1)2=140t2\begin{cases}t_1+t_2=5\cr \dfrac{1}{2}(9.81)(t_1)^2=140t_2\end{cases}$

c'est à dire

${t1+t2=54.905(t1)2=140t2\begin{cases}t_1+t_2=5\cr 4.905(t_1)^2=140t_2\end{cases}$

Tu résous ce système par substitution

Par exemple,
$t_1=5-t_2$

Tu remplaces $t_1$ par $5-t_2$ dans la seconde équation qui devient ainsi une équation d'inconnue $t_2$ que tu résous.

Donne tes calculs/réponse si tu as besoin d'une vérification.

@socarla

Une remarque ,

Je ne suis pas physicienne, mais tu devrais vérifier les données de ton énoncé.
La vitesse du son de 140ms/s me laisse perplexe..

Je viens de consulter Wikipédia qui indique :
La vitesse du son dans l'air à 15 °C au niveau de la mer est d'environ 340 m/s et dans l'eau le son se propage 4 fois plus vite.
A vérifier.

@mtschoon Bonjour , après vérification, la vitesse du son est bien de 140m.s-1

D'accord , mais j'ai tout de même un gros doute.

Je regarde un ancien énoncé (différent vu que les inconnues ne sont pas les mêmes), mais la vitesse du son est différente aussi
https://forum.mathforu.com/topic/23068/chute-de-caillou-dans-un-puits-calcul-et-équations

Si tu es vraiment sûr(e) de ton énoncé, fais les calculs avec 140m/s (comme indiqué dans ton énoncé...).*

@mtschoon Merci beaucoup pour votre rapidité,
Alors,
T1= durée de chute de la pierre
T2= durée de parcours du son
X= profondeur du puits

T1 + T2 =5
1/2gt21=vt2

1/2 ( 9,8) t 21 = 140 t2
4,9 t21= 140 t2
4,9 t21= 140 ×5 -t1
-700 + 4.9 t 21 = t1
-695,1 t21 =t1

Voilà où j'en suis rendue, le problème c'est que je suis bloquer car je n'ai jamais manipuler les cas comme t21 ( 2 en haut et 1 en bas) et que je vois ps où ce calcule va me mener pour pouvoir répondre à la question.

Je ne comprends pas trop ce que tu as fait.

$t_1=5-t_2$

la seconde équation devient

$4.905 (5-t_2)^2=140t_2$
Tu développes le carré (identité remarquable) , tu transposes et tu trouves une équation du second degré à résoudre.

@mtschoon Je suis en première spé math et du coup les manuels sont nouveaux, mais la vitesse du son est bien de 140m/s -1

@mtschoon J'ai résolu mais pas trouver l'équation du second degrés:
4,9 (5- t1)2= 140 t1
4,9 +52 (au carre ) -2 ×5 ×t1 + t12( au carre)=140 t1
4,9+ 25 -10 × t1 + t12 = 140 t1
-140 + 4,9 + 15= t1

120, 1 = t1

Le nouveaux manuels ne changent pas la vitesse réelle du son...il y a peut-être une faute de frappe dans le nouveau maunuel mais bon, il faut faire avec...

tes écritures ne sont pas très claires...

Piste si l'on veut commencer par chercher $t_2$

Je prends 4.9 au lieu de 4.905 pour faciliter l'écrire

$t_1=5-t_2$

la seconde équation s'écrit

$4.9(5-t_2)^2=140t_2$

rappel : (a-b)²=a²-2ab+b²

$4.9(25−10t2+(t2)2)=140t24.9\biggl(25-10t_2+(t_2)^2\biggl)=140t_2$

Tu développes , tu transposes, tu résous.

Piste si l'on veut commencer par chercher $t_t$
(c'est plus simple car ça évite l'identité remarquable)

$t_2=5-t_1$

la seconde équation s'écrit
$4.9(t_1)^2=140((5-t_1)$

Tu développes , tu transposes. tu résous.

Prends le temps pour faire des calculs corrects.

@mtschoon Je pense avoir trouver en commençant par t1, du coup je doit résoudre avec delta ?

@socarla Parce que du coup cela me fait 2 solutions

Tout à fait.
Tu dois trouver deux solutions.
En commençant par $t_1$ , tu dois trouver, sauf erreur, comme valeurs approchées
$t1≈4.34t_1\approx 4.34$ et $t1≈−39,9t_1\approx -39,9$

Vu que nécessairement $t_1$ est compris entre 0 et 5, c'est $t1≈4.34t_1\approx 4.34$ la valeur à retenir.

Lorsque tu auras trouver $t_1$ , pour trouver $t_2$ , tu n'as pas besoin de résoudre l'autre équation du second degré, tu te contentes d'utiliser $t_2=5-t_1$

Bien sûr, si par aquis de conscience, tu veux trouver $t_2$ avec l'autre équation tu peux le faire et tu dois trouver pareil, ce qui peut être une vérification.

@mtschoon J'ai trouver 4, 86 et -5,88 comme solutions avec delta = 2769 donc je prend 4,86 -5=t2.
Mais du coup je n'utilise pas la vitesse du son ?
Et que serait la formule pour trouver la profondeur x ?

@socarla

Si (?) tu as compris le système de départ, $v$ représente la vitesse du son, et $vt_2$ représente le parcours du son.
Revois à partir de la base( mise en équations) , si besoin.

Tes réponses ne sont pas exactes.

En $t_1$ , l'équation du second degré est

$4.9(t_1)^2+140t_1-700=0$

Tu as dû faire une erreur.

Lorsque tu auras les bonnes valeurs pour $t_1$ et $t_2$ , je te conseille de voir l'exercice du lien que je t'ai indiqué pour calculer la profondeur x (appelée d dans le lien).
Tu n'as peut-être pas compris parfaitement la mise en équations.

@mtschoon Je reprendrais sa plus tard , merci énormément pour votre aide.

@socarla , de rien !

Lorsque tu auras le temps de reprendre, je te conseille de partir de l'énoncé et de revoir le tout, et si possible, de refaire l'exercice seul(e) ,en commençant par la mise en équations.

Bon travail .

@mtschoon Bonsoir, après avoir tous repris, j'ai donc trouver t1= 4, 34 et t2= 0,66. Pour pouvoir trouver la profondeur x je suis retourner voir le liens que vous m'avez indiqué mais je n'ai du tout compris le système. Quel serait la formule pour pouvoir trouver la profondeur avec 140m.s-1 pour la vitesse du son ?

Bonsoir socarla,

Vérifie tes calculs pour $t_1$ et $t_2$ , $t_2$ est négatif.

De plus comme indiqué par mtschoon, la vitesse du son dans l'air est bien de 340 m/s.
Pour la profondeur :
$v\times t$ ou $x =1/2 gt^2$
Remarque dans l'énoncé $g=9,8 m/s^2$

@Noemi Mais t2 = 5 - 4,34 = 0, 66
Comment il pourrais être négatif ?
Merci pour les formules pour la profondeur.

Effectivement , l'énoncé donne seulement 9.8 m/s² au lieu de 9,81 / s² , pour réduire le calcul.

@socarla c'est bon pour $t1≈4.34t_1\approx 4.34$ et $t2≈0.66t_2\approx 0.66$

(En consultant vite, @Noemi a pensé que $t_2$ était la seconde solution de la même équation, ce qui n'est pas le cas)
Tes réponses sont bien les bonnes.

J'espère que tu as compris le système de départ : il s'agit de l'égalité des deux expressions de x :
chute de la pierre : $x=12g(t1)2x=\dfrac{1}{2}g(t_1)^2$
remontée du son : $x=vt_2$

@mtschoon Donc pour pouvoir trouver la chute de la pierre et le parcour du son je dois utiliser ces deux formules ?

@socarla et la profondeur x= 140 ×5 = 700
Est ce correct, le puits a pour profondeur 700m ?
De plus, j'ai trouver 92,4 pour le parcours du son et 23,7 pour la chute mais mes calculs ont l'air faux

Exact j'ai commis un erreur, les valeurs $t_1$ et $t_2$ sont correctes.
Attention $t_1$ s'applique à la formule de la chute de la pierre et
$t_2$ à la formule de la distance parcourue par le son.
donc $140\times t_2$ .
On trouve 92,4 m.

En utilisant la relation avec la chute de la pierre, tu dois trouver la même valeur pour $x$ .

@Noemi pourquoi on devrait trouver 92,4 pour la chute de la pierre ? Parce que je trouvé 23,7
Et pour la profondeur je dois utiliser ces données la ?

@socarla , je crois que tu ne réalises pas bien le tout début.

La pierre chute du bord du puis jusqu'au fond du puits.
Le trajet x qu'elle fait est donc la profondeur du puis
$x=12g(t1)2=4.9(4.34)2x=\dfrac{1}{2}g(t_1)^2=4.9(4.34)^2$

La pierre ne fait pas de bruit durant sa chute.
Le bruit se produit lorsque la pierre heurte le fond du puis.
C'est ce bruit que l'on entend au bord du puis .

Ce bruit part du font du puis et remonte jusqu'au bord du puis.
il faut donc le trajet ("retour") $x=vt_2=140(0.66)$

Je ne sais pas si j'ai été assez clair...

La distance parcourue par la pierre : $x=1/2×9,8×4,342x=1/2\times 9,8 \times4,34^2$
$x = 92, 29 m$ qui est proche de 92,4 $m$ .

Tu dois trouver le même résultat car la distance parcourue par la pierre et la même que celle parcourue par le son. Cela correspond à la deuxième équation du système.

@mtschoon Si sa a etait tres clair merci beaucoup
Mais pour la profondeur est ce normal que je trouvé 700 m ?

@socarla , je suis contente si c'est bien le cas, car depuis le début, je sentais que tu n'avais pas compris quelque chose (que tu ne demandais pas clairement )

Non 700 m n'est pas normal.
$4.9(4.34)2≈92.34.9(4.34)^2 \approx 92.3$
$_\approx 92,4$
Ces deux valeurs sont approximativement pareilles.
La petite différence vient du fait que l'on a pris des valeurs approchées pour les solutions et non les valeurs exactes ( vu leurs complexités)

Pour avoir exactement la même valeur il faudrait utiliser les valeurs exactes pour $t_1$ et $t_2$ (mais elles sont très "moches"...)

@mtschoon mais du coup je comprend toujours pas à quoi correspond la profondeur , je veut dire quel donne je doit prendre après tous ses calculs ?

x est la profondeur du puis.
Tu as deux façons pour la calculer : elle utilisant la "descente" de la pierre ou bien la "remontée"du son.
On t'a donné les deux façons qui donnent le même résultat.

Prends celle que tu veux (ou bien les deux.)

@mtschoon
Donc la profondeur du puits est d environ 92m ?

@socarla
Oui.
Pour être précis, plutôt 92,3 m ( ou 92,4 m).

@mtschoon C'est bon j'ai enfin fini mon exercice merci énormément pour votre aide.

De rien @socarla et bonne semaine.

Bonjour,

Juste un petit coup de griffe ..., dont je m'excuse (même si ce n'est pas poli).

J'ai toujours une réaction épidermique devant des problèmes mal posés et souvent avec des réponses numériques non acceptables.

Le vitesse du son dans l'air est évidemment de 340 m/s et pas 140 m/s

De plus, le vocable "Arnaud LANCE ..." n'est pas adéquat si on la lâche la pierre sans vitesse initiale.

Cela fait beaucoup d'incohérences pour un seul problème basique.

1/2.g.t1² = Vs.t2
t1 + t2 = 5

(1/2)9,8t1² = 340.t2
t1 + t2 = 5

t2 = (4,9/340)*t1²
t2 = 0,01441 t1²

t1 + 0,01441 t1² = 5 (avc t1 > 0)

t1 = 4,68383 s

La profondeur du puits est h = 1/29,84,68383² = 107,5 m

Qu'on devrait arrondir à 1 seul chiffre significatif (confer la précission des données) ---> h = 1 * 10^2 m

Si on refait les calculs avec Vs = 140 m/s (bien que c'est absurde) ...

1/2.g.t1² = Vs.t2
t1 + t2 = 5

1/2 * 9,8 * t1² = 140*t2
t2 = 0,035.t1²

0,035.t1² + t1 = 5 (avec t1 > 0)
t1 = 4,34058 s

La profondeur du puits est h = 1/29,84,34058² = 92,32 m

Qu'on devrait arrondir à 1 seul chiffre significatif (confer la précision des données) ---> h = 9 * 10^1 m

Toutes réponses différentes devraient être sanctionnées... et le serait sans aucun doute par un prof de physique conscient de l'importance des précisions des données sur le résultat final.

Rappel : On ne peut pas repartir de valeurs arrondies des calculs intermédiaires, mais bien des valeurs exactes pour poursuivre les calculs ... Et le résultat final (uniquement) DOIT être arrondi en tenant compte de la précision des données (donc ici sur bases du nombre de chiffres significatifs des dites données).

Si on veut poser au cours de math des problèmes clairement reliés à la physique, soit on suit les "règles" imposées par la physique, soit on devrait s'abstenir ... sous peine de donner de très mauvaises habitudes aux élèves.