Exercice sur les suites avec algo

Bonsoir, je rencontre quelques petits soucis avec les suites… pourriez-vous m’aider?
Merci d’avance!

On considère la suite (Un) définie pour tout n E N* par:
$Un=∑k=1k=n1k2=112+122+...+1n2U_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}$
et la suite (Vn) définie pour tout n $∈\in$ N* par: $Vn=Un+1nV_n= U_n + \dfrac{1}{n}$ .

Etudier le sens de variation de la suite $U_n$ ).
a) Montrer que, pour tout entier k ≥ 2,
$1k2≤1k−1−1k\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$
b) En déduire que pour tout entier n $∈\in$ N*, $Un≤2−1nU_n \le 2 - \dfrac{1}{n}$ , puis que la suite (Un) est majorée.
Démontrer que la suite (Un) converge. On donne L sa limite.
a) Quelle est la limite de la suite $V_n)$ ?
b) Etudier le sens de variation de la suite $V_n)$ .
Démontrer que pour tout n $∈\in$ N*, $U_n$ ≤ L ≤ $V_n$ .
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il donne en sortie un encadrement L d’amplitude 10^-5.

Algorithme:
u ← ...
v ← ...
n ←
Tant que …
n ← ...
u ← ...
v ← ...
Fin tant que
Afficher u, “ < L < “, v

Pour la première question, le raisonnement dans mon développement ne me parraît pas très théorique, ceci dit j'ai réussi à trouver qu'elle est strictement croissante. Est-ce juste?

Pour la quest° n°2, j'ai remplacée k par 2 et j'ai trouvée: 1/4 ≤ 1/2 d'où l'inégalitée est juste

En revanche, je n'ai pas compris la 2. b) et 3.

(formules re-écrites en Latex par la modération)

Bonjour Constance ,

Etudie le signe de $U_{n+1}-U_n$
a) L'inégalité est à démontrer pour tout entier $\geq 2$
Tu pars de $k2≥k(k−1)k^2 \geq k(k-1)$
b) Tu utilises la relation pour chaque terme de la suite sauf le premier.

Pour la 2. a) , on part de k^2 ≥k(k−1) pour retomber sur l'expression attendue?

@Constance

Transforme l'inéquation en passant par l'inverse :
$1k2....\dfrac{1}{k^2} ....$

@Noemi Oui merci
Dans la question 2. b) on nous demande de déduire que la suite Un est majorée.
Dire que la suite (Un) est croissante avec Un ≤ Un+1 et que alors la suite est majorée par Un ≤ M est suffisante?
M= Un+1 ? ou M= 1/n^2 ?

@Constance
Utilise la définition :
Une suite $U_n$ est majorée par un réel M, si pour tout n , $Un<MU_n \lt M$ .
Or ici $Un≤2−1nU_n \leq 2 - \dfrac{1}{n}$ , donc $Un<2U_n\lt 2$ vu que $\in\mathbb{N}^*$ .
Donc M = ...

@Noemi Ok merci j'ai compris! J'avais pas pensée à regarder dans l'éq°...
Concernant la question n°3, j'ai dit que la suite (Un) convergée vers 1/n^2 et donc sa limite serait 0. (une suite qui converge admet une limite finie et on trouve ici une limite finie, ça marche?
Pour la question n°4. a) j'ai trouvée que la limite était 0
Par contre pour la question n°4. b) je n'ai pas réussi à trouver le sens de variation de la suite (Vn)... je suis pourtant partie de Vn+1 -Vn

@Constance

Revois la définition de suite convergente.
La suite est convergente car elle est croissante et majorée. Sa limite L est 2.
4. a) Utilise le résultat précédent
b) Détermine le signe de $V_{n+1} - V_n$

@Noemi Merci
Pour la question 4. b) je bloque un peu dessus ... la forme de Un avec sa somme me pertube un peu..
J'ai commencé par dire que:
Vn+1 - Vn = Un+1 - 1/ n+ 1
Vn+1 - Vn= Un + 1/ (n+1)^2 - 1/ n+1

Et je bloque sur Un, par quoi le remplace t-on? On le remplace par 1/n^2? Ou par 2- 1/n ?

@Constance Et concernant les deux dernières questions, pour la 5) j'ai dit que:
Un ≤ L ≤ Vn
= Un ≤ 2 - 1/n ≤ L ≤ Un + 1/n
= Un ≤ 2 ≤ L ≤ 2
Mais je ne suis pas sûr ...

Concernant l'algorithme, je ne sais pas si je l'ai réussi:

u ← 1
v ← 2
n ← 1
Tant que L ≤ 10^-5
n ← n+1
u ← u ≤ 2- 1/n
v ← u + 1/n
Fin tant que
Afficher u, “ < L < “, v

@Constance

$Vn+1−Vn=1(n+1)2+1n+1−1nV_{n+1} - V_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n}$ .
expression à simplifier pour déterminer le signe.

@Noemi J'ai trouvée que Vn+1-Vn= 1 - n - n^2/ (n+1)^2 soit la suite Vn est décroissante. C'est ca?

@Constance

Vérifie tes calculs, le dénominateur doit être $n(n+1)^2$ .

@Noemi Ah oui! J'ai vu mon erreur merci beaucoup
Je vous avais mis dans les précédents messages des questions au sujet des questions n°5 et 6

@Noemi Du coup j'ai trouvée -1^2/ n(n+1)^2

@Constance

C'est correct, nombre négatif donc suite .....

Pour la question 5, utilise les résultats des questions précédentes et la propriété des suites convergentes.

@Noemi J'ai repris les limites de Un et de Vn soit:
Un ≤ L ≤ Vn
2 ≤ L ≤ 2
On en conclue que limite L converge vers 2 ( on a bien une limite finie) ... ?

@Constance

La suite $U_n$ est croissante et majorée donc convergente de limite L ; $Un≤LU_n \leq L$ .
La suite $V_n$ est décroissante et minorée donc convergente de limite L' ; $Vn≥L′V_n \geq L'$
Comme $lim V_n - U_n = 0$ , les deux suites ont même limite donc
$Un≤L≤VnU_n \leq L \leq V_n$

Pour l'algorithme le "tant que" correspond à l'amplitude de l'encadrement qu'il faut calculer pour chaque valeur de n.
Rectifie le calcul pour u.

Ok merci, j'avais pas pensée à l'aspect théorique, j'étais plus partie dans des calculs...
Pour l'algorithme je remplace U par 1/n^2?
Le reste est bon?

@Constance

pour l'algorithme, il faut modifier le tant que $\gt 10^{-5}$
et $\dfrac{1}{n^2}$ .

@Noemi Ok super merci beaucoup pour votre aide!

@Constance

C'est bien si tu as tout compris.